Topologie produktu

V topologie, kartézský součin topological prostory je změnil se na topological prostor následujícím způsobem. Nechaný Já být (možná nekonečný) index zapadat a předpokládat X_i je topological prostor pro každý i v Já. Soubor X = & Pi X_i, kartézský součin souborů X_i. Pro každý i v Já, my máme kanonická projekce p_i : X - > X_i. topologie produktu na X je definován být nejhrubější topologie (i. e. topologie s fewest otevřené soubory) který otočí všechny mapy p_i do spojitý mapy.

Výslovně, topologie na X moci být popisován jak následuje. podmnožina X je otevřený jestliže a jediný jestliže to je odbor (možná nekonečně mnoho) křižovatky finitely mnoho souborů formy p_i^{- 1}(O), kde i v Já a O je otevřená podmnožina X_i. Toto znamená, že, v generálovi, ne všechny produkty otevřených souborů potřebují být otevřený v X.

My můžeme popisovat základ pro topologii produktu v jednoduché cestě používat základny představovat prostory X_i. Předpokládat, že pro každého i v Já my si vybereme soubor Y_i který je jeden celý prostor X_i nebo element základu v tom prostoru, a nechaný B být produkt Y_i. Pak, jak dlouho jak X_i = Y_i, to je, my vybereme si celý prostor, pro všechny ale finitely mnoho i v Já, B bude být základ prvek prostoru produktu a kompletního základu je tvořen tímto způsobem. V zvláštní, toto znamená, že konečný produkt prostorů X má jednoduchý základ poskytnutý produkty základů v X_i.

Příklady

Jestliže jeden začíná standardní topologií na skutečná linka R a definuje topologii na produktu n kopie R v této módě, jeden trvá obyčejný Euclidean topologie na Rⁿ.

Cantor soubor je homeomorphic k produktu countably mnoho kopie jednotlivý prostor {0, 1} a prostor iracionální čísla je homeomorphic k produktu countably mnoho kopií přirozená čísla, kde znovu každá kopie nese jednotlivou topologii.

Vlastnosti

Topologie produktu je také volána topologie pointwise sbližování protože následujícího fakta: sekvence (nebo síť) v X se sblíží jestliže a jediný jestliže všichni jeho projekce k prostorům X_i sblížit se. V zvláštní, jestliže jeden zvažuje prostor X = R^Já všichni skutečně oceněný funkce na Já, sbližování v topologii produktu je stejné jak pointwise sbližování funkcí.

Důležitý teorém o topologii produktu je Tychonoff je teorém: nějaký produkt kompaktní prostory je kompaktní. Toto je snadné pro konečné produkty, ale sdělení je (překvapivě) také pravdivý pro nekonečné produkty, když důkaz vyžaduje axióm výběru v některých forma.

Prostor produktu X, spolu s kanonickými projekcemi, moci být charakterizován následovat univerzální vlastnictví: Jestliže Y je topological prostor, a pro každý i v Já, f_i : Y - > X_i je nepřetržitá mapa, pak tam existuje přesně jeden nepřetržitá mapa f : Y - > X takový to p_i o f = f_i pro všechny i v Já. Toto ukáže, že prostor produktu je produkt ve smyslu pro teorii kategorie.

Zkontrolovat to zda daná mapa f : Y - > X je spojitý, jeden může používat následující šikovné kritérium: f je spojitý jestliže a jediný jestliže p_i o f je spojitý pro všechny i v Já. Jinými slovy, jestliže my píšeme f jako n-tice jeho součástí, f= (f_i)_{i v Já}, pak f je spojitý jestliže a jediný jestliže každý f_i je. Kontrolovat to zda mapa g : X - > Z je spojitý je obvykle těžší; jeden pokusí se používat skutečnost, že p_i být spojitý jistým způsobem.

Vztah k jiný topological pojmy

• Oddělení
  • Každý produkt T₀ spacess je T₀
  • Každý produkt T₁ spacess je T₁
  • Každý produkt Hausdorff prostory je Hausdorff
  • Každý produkt pravidelných prostorů je pravidelný
  • Každý produkt Tychonoff prostory je Tychonoff
  • Produkt normálních prostorů potřeba ne být normální
• Kompaktnost
  • Každý produkt kompaktních prostorů je kompaktní (Tychonoff je teorém)
  • Produkt místně kompaktních prostorů potřeba ne být místně kompaktní
• Connectedness
  • Každý produkt připojený (resp. cesta-připojený) prostory souvisí (resp. cesta-připojený)
  • Každý produkt hereditarily odpojil prostory je hereditarily rozpojený.

Prosím přidejte více výsledků jako tito