Projective geometrie
V historickém pohledu na matematika, pole geometrie to se vyvíjelo v první polovině devatenáctého století pod jménem projective geometrie byl odrazový můstek od analytická geometrie k algebraická geometrie. Když zacházel s v termínech homogenní se sladí to vypadá jako rozšíření nebo technické zlepšení použití se sladí redukovat geometrické problémy k algebra, to snížilo počet zvláštních případů. A na druhé straně podrobné pozorování quadrics a ' geometrie linky ' Julius Plucker stále tvoří bohatý soubor příkladů pro geometry, kteří také pracují s více obecnými představami. Ke konci století Italská škola (Enriques, Segre, Severi) vypukl tradičního obsahu do oblasti náročné hlubší techniky.To by mělo být říkáno nejprve to pozoruhodný projective geometři, včetně Poncelet, Steiner a jiní, nezamýšleli se prodlužovat analytická geometrie. Techniky měly být syntetický: ve skutečnosti projective prostor jak my rozumíme tomu nyní byl být představen na axiomatickém základě. Toto působí některé problémy v obnovovat teorii. V případě projective letadlo osamocený, axiomatický přístup může se setkat s modely, které nemohou být popisovány přes lineární algebra.
Kterákoliv přesný foundational stav, projective geometrie přece zahrnovala základní dopad vlastnosti. To znamená, že nějaké dvě zřetelné linky L a M v projective letadlo intersect v přesně jednom bodě P. Zvláštní případ v analytická geometrie protějšek linky byl zahrnut v hladší formě linky u infinity na kterém P bude spočívat v tom případě. Bod je pak to linka u infinity je linka jako některý jiná v teorii: to je nikdy zvláštní nebo význačný. (v pozdnějším duchu Erlangen program jeden mohl ukázat na cestu skupina transformací může pohyb nějaká linka k linka u infinity).
To také zahrnovalo plnou teorii conic sekce, předmět, který už měl velký počet teorémů (hlavně užitečný jako zdroj zkouškových otázek). V bytí schopném myslet na jsou velké a jasné výhody hyperbola a elipsa jak význačný jediný mimochodem hyperbola leží přes čáru u infinity; a to parabola je tangenta ke stejné lince. Celá rodina kruhů může být viděna jak conics procházet dvěma danými body v spojení u infinity - u ceny dovolit komplexní číslo se sladí. Protože se sladí byl ne ' syntetický ', jeden nahradí to tím, že opraví linku a dva body na tom, a rozvažování lineární systém všichni conics procházet těmi body jako základní předmět studia. Tento přístup celku byl velmi atraktivní pro nadané geometry a pole bylo důkladně zbito. Pozdnější mnoho-práce hlasitosti H.F. Baker ukáže styl.
Toto období v geometrii bylo spíše předběhnuto výzkumem generála algebraická křivka Clebsch, Riemann, Maximální Noether a jiní, který natáhnul existující techniky, a pak neměnná teorie. Ve druhém díle devatenáctého století, podrobné pozorování projective geometrie sám byl méně důležitý pro profesionální matematiky, ačkoli literatura je objemná. Nějaká důležitá práce byla oddělána enumerative geometrie v zvláštní, Schubert, to je nyní zvažoval očekávání teorie Chern třídy v jejich masce jak reprezentovat algebraická topologie Grassmannians.
Projective letadlo, projective prostor, homogenní osy, Desargues ' teorém, M � bius transformace, dopad (matematika), kříž-poměr
Real Projective letadlo, 3rd ed, 1995, H.S.M. Coxeter