Počítání
V predikátové logice, počítání je metoda odbočky predikát (nebo otevřená věta), do problému (nebo uzavřená věta). Toto je děláno tím, že specifikuje jak často predikát myslí si. Výsledné sdělení je počítané sdělení a my máme počítaný přes predikát. V symbolické logice, quantifier je symbol naznačoval počítání.Dva základní druhy počítání jsou počítání univerzálie a existenciální počítání. Tato pojetí jsou pokryta v detailu v jejich individuálních článkách; tady my diskutujeme o rysech počítání to platit v obou případech. Jiné druhy počítání zahrnují počítání jedinečnosti.
| Tabulka s obsahem |
| 1 základní myšlenka 2 domény projevu 3 symbolický výraz quantifiers 4 počítání v přirozeném jazyce 5 případů zvrhlíka 6 historie |
Předpokládat, že vy přejete si říkat:
- 0 · 2 = 0 + 0, a 1 · 2 = 1 + 1, a 2 · 2 = 2 + 2, etc.
- Pro nějaké přirozené číslo n, n· 2 = n + n.
Na druhé straně, předpokládat, že vy přejete si říkat:
- 0 je připravit, nebo 1 je připravit, nebo 2 je připravit, etc.
- Pro nějaké přirozené číslo n, n je připravit.
Poznamenejte, že počítaná sdělení jsou opravdu přesnější než původní formy. To může vypadat zřejmé, že fráze “a tak na” je chtěl zahrnovat všechna přirozená čísla, a nic více, ale toto wasn't výslovně řečený, který je nezbytně důvod že výraz nemohl být interpretován formálně. V počítaných sděleních, na druhé straně, přirozená čísla jsou zmíněna výslovně.
V příkladech nahoře, přirozená čísla pro doménu nebo vesmír projevu pro počítání. Toto udá, že co cení proměnnou (n nahoře) má dovoleno brát. Toto dovolí nám zachytit rozdíl mezitím, například, “pro nějaké přirozené číslo n, n2 = 2” a “pro nějaké reálné číslo x, x2 = 2”. Nakonec, první sdělení je nepravdivé, ale druhé sdělení je pravdivé. Nyní, konvence navrhne používání”n” pro přirozená čísla a”x” doopravdy čísla a tato síla vysvětlí význam. Ale dokonce pak, doména projevu je implicitně specifikována dopisem voleným pro proměnnou. Bez dané domény projevu, počítání má žádný smysl. (samozřejmě, jestliže vy jen se díváte na syntax ve formální logice, pak toto může být v pořádku; ale doména projevu přijde u úrovně sémantiky.)
Vy můžete také omezit doménu projevu používat obezřetné počítání. Například, sdělení “pro nějaké přirozené číslo n, n je dokonce a n je připravit” je jen rozvláčný způsob, jak říkat “pro nějaké sudé číslo n, n je připravit”. Tak existenciální počítání bylo obezřetné predikátem”n je dokonce” používat souvislost (“a”). Sdělení, které platilo o všech přirozených číslech bylo omezené na jediná sudá čísla. Podobně, sdělení “pro nějaké přirozené číslo n, jestliže n je dokonalý, pak n je dokonce” je jen rozvláčný způsob, jak říkat “pro nějaké dokonalé číslo n, n je dokonce”. Tady, počítání univerzálie bylo obezřetné predikátem”n je dokonalý” používání podmíněný (“jestliže... pak”). Sdělení, které platilo o všech přirozených číslech bylo omezené na jen dokonalá čísla. (mimochodem, nikdo ví to zda tento poslední příklad je pravdivé sdělení!)
V některých aplikacích predikátové logiky, jeden převezme jediný vesmír projevu opraveného v záloze. Například, ve standardu Zermelo-Fraenkel axiómy axiomatické teorie množin, doména projevu vždy sestává ze všech souborů. V tomto případě, obezřetný quantifiers moci být zvyklý na šaška menší domény projevu. Tak v příkladě, který začal tento článek, říkat “pro nějaké přirozené číslo n, n· 2 = n + n” v Zermelo-Fraenkel dal teorii, vy můžete říkat “pro některého n, jestliže n patří k N, pak n· 2 = n + n”, kde N je soubor všech přirozených čísel. Toto pracuje protože patřit k souborům je fundamentální představa teorie množin. (samozřejmě, vy také musíte vyjádřit operace aritmetiky v podmínkách teorie množin, například tím, že zachází s přirozenými čísly jak jistý Von Neumann ordinals.) více obecně, vy můžete omezit doménu projevu k jediný ty objekty uspokojující daný predikát Q(x) tím, že střeží quantifier s tím predikátem. Nahoře příklad je jen zvláštní případ s Q(n) =”n patří k N”.
Tradiční symbol pro univerzálii quantifier je “a forall;”, obrácený dopis””, který zastupuje formulovat “všechny”. Korespondenční symbol pro existenční kvantifikátor je “a existovat;”, a upsided-dole dopis”E”, který kandiduje na slovo “existuje”. Jestliže my používáme notaci”P(n)” kandidovat na predikát, který je počítán přes (v našich příkladech, P(n) je”n· 2 = n + n” nebo”n je připravit”), pak široká paleta notací může být používána ukázat počítání v symbolické logice, včetně:
Vy můžete si všimli toho některé verze zápisu výslovně se zmínit o doméně projevu (v tomto případě, přirozená čísla), zatímco jiní dělají ne. Doména projevu musí vždy být specifikována, ale tam je ještě několik cest že toto může být děláno, někteří je poněkud nevyslovený:
- Jedna cesta má přijmout, skrz specifické použití predikátové logiky, že jediná doména projevu je vždy znamenána. Například, toto je děláno ve standardu Zermelo-Fraenkel axiómy teorie množin, kde to předpokládalo, že doména projevu vždy sestává ze všech souborů.
- Jinak, vy můžete opravovat několik domén projevu v záloze ale deklarovat, že jisté proměnné mají být používány jen pro jisté domény. Tak v příkladech nahoře, proměnná n by odkazoval jediný k přirozeným číslům. Toto je analogické s praxí v silně-psal počítačové programovací jazyky, kde proměnné musí vždy být deklarovány předem mít jistý datový typ.
- Konečně, vy můžete se zmínit o doméně projevu výslovně, možná používat symbol na soubor všech objektů v té doméně (jestliže vy používáte teorii množin) nebo typ objektů v té doméně (jestliže vy používáte teorii typu). Nahoře, symbol”N” se odkazuje na soubor všech přirozených čísel a symbol”
uint#rquote se odkazuje na druh přirozených čísel.
Informally, “a forall;x” nebo “a existovat;x” směl dobře objevit se po P(x), nebo dokonce uprostřed jestliže P(x) je dlouhá fráze. Formálně, nicméně, fráze, která představí fiktivní proměnnou je standardly umístěné v přední straně.
Několik phrasings je užité na počítání univerzálie, takový jak:
- Pro nějaké přirozené číslo x,....
- Pro všechna přirozená čísla x,....
- Pro každý x,....
- ... pro každého x.
- ... (x je přirozené číslo).
- Tam je někteří x takový to....
- Pro nějaké přirozené číslo x,....
- Tam existuje x takový to....
- ..., pro přinejmenším jeden x.
Klíčová slova pro počítání jedinečnosti obsahují:
- x takový to... je jedinečný.
- Pro přesně jedno přirozené číslo x,....
- Je tam jen jeden x takový to....
V počítaném sdělení, není tam žádný důvod že zahrnutý predikát musí vlastně zahrnovat proměnnou, která je počítána přes. To je, predikát by mohl prostě být problém. Například, my jsme mohli říkat “pro nějaké přirozené číslo n, Jacques Chirac je prezident Francie”, nebo “pro nějaké prvočíslo p, Helmut antimonový prášek je Bundeskanzler Německa”. Tyto příklady jsou zvrhlé, ale naprosté pochopení počítání potřebuje rozumět tomuto také.
Jestliže problém P být počítán je falešný, pak toto je snadné; počítané sdělení je také falešné. Jestliže P je pravdivý, pak počítání univerzálie a forall;x P je také pravdivý, ale jiná počítaná sdělení závisí na povaze domény projevu. Například, existenciální počítání “tam existuje x takový to 1 + 1 = 2” je pravdivý jestliže někteří x existuje vůbec -- jinými slovy, jestliže doména projevu není prázdná. A počítání jedinečnosti “tam existuje jedinečný x takový to 1 + 1 = 2” je pravdivý jestliže tam existuje jedinečný x, období -- jinými slovy, jestliže doména projevu má přesně jeden objekt v tom.
V mnoha utvářeních predikátové logiky, to předpokládalo, že doména projevu je ne se vyprázdnit. V tom případě, “a existovat;x P” má stejnou pravdivou hodnotu jako problém P.
Množství látky, na různých logických článkách, se vztahovat k Aristotleovi by hodil se tady.