Quantum harmonický oscilátor

quantum harmonický oscilátor je quantum mechanický obdoba klasického harmonického oscilátoru. To je jeden z nejdůležitějších problémů v kvantové mechanice, protože (i) jednoduché přesné řešení existuje a (ii) široká paleta fyzických situací může být zredukovaná na toto. Zvláště, systém blízko konfigurace rovnováhy může často být popisován v podmínkách jednoho nebo více harmonických oscilátorech.

Následující diskuse quantum harmonický oscilátor se spoléhá na článek Matematické vyjadřování kvantové mechaniky.

Tabulka s obsahem

1 jednorozměrný harmonický oscilátor 1.1 Hamiltonian a eigenstates energie 1.2 žebříková operátorová metoda 1.3 přirozená délka a měřítka energie 2 N-rozměrný harmonický oscilátor 3 související problémy 3.4 Anharmonic oscilátor 3.5 spojené harmonické oscilátory

Jednorozměrný harmonický oscilátor

Hamiltonian a eigenstates energie

V jednorozměrném harmonickém oscilátoru problém, částečka hmoty m je podřízený potenciálu V(x) = (1/2)ma omega;² x². Hamiltonian částečky je:

kde x je pozice operátor, a p je hybnost operátor (p = - i? a část; / a část;x). Aby našel energetické eigenstates | a psi;_Ea zvonil;, a korespondenční energetické hladiny E, my musíme řešit čas-nezávislý Schrödinger rovnice,

.

My můžeme řešit diferenciální rovnici v základě osy, použití elektrické sériové metody. To vypne to tam být rodina řešení,

Funkce H_n(a théta;) být Hermite polynomials (oni by neměli být zmateni Hamiltonian, který je bohužel také označil H!) korespondenční energetické stavy jsou

.

Toto spektrum energie je pozoruhodné pro dva důvody. Firstly, energie jsou “quantized”, a smět jen vzít diskrétní hodnoty? a omega; časy 1/2, 3/2, 5/2, a tak dále. Toto je rys mnoho quantum mechanické systémy. V následující sekci na operátorech žebříku, my budeme zabývat se více detailní zkouškou tohoto jevu. Secondly, nejnižší dosažitelná energie není nula, ale? a omega; / 2, který je nazýván “energií základního stavu”. To není zřejmé, že toto je významné, protože normálně nula energie není fyzicky významná kvantita, jediné rozdíly v energiích. Přesto, energie základního stavu má mnoho implikací, zvláště v kvantové vážnosti.

Pravděpodobnostní hustoty eigenstates energie jsou ukazovány dole, začínat základním stavem (n = 0) u dna obrazu a rostoucí v energii k vrcholu obrazu. Horizontální osa odpovídá pozici x, a jasnější barvy reprezentují vyšší pravděpodobnostní hustoty.

Poznamenejte, že mletá státní hustota pravděpodobnosti je soustředěna u původu. Toto znamená částečka utrácí většinu z jeho času dole potenciální studny, zatímco my bychom čekali pro stát s malou energií. Jak energie se zvětší, hustota pravděpodobnosti stane se soustředěná u “klasických bodů obratu”, kde státní energie se shoduje se potenciální energií. Toto je shodné s klasickým harmonickým oscilátorem, ve kterém částečka utrácí většinu z jeho času (a je proto nejvíce pravděpodobný, že se nalézá) u rozhodujících okamžiků, kde to je nejpomalejší. princip korespondence je tak uspokojený.

Žebříková operátorová metoda

Řešení mocninové řady, ačkoli přímý, je poněkud nudný. “žebříková operátorová” metoda, náležitý k Paul Dirac, dovolí nám získat eigenvalues energie bez přímo řešit diferenciální rovnici. Dále, to je rychle generalizable k více komplikovaným problémům, pozoruhodně v kvantové polní teorii. Následovat tento přístup, my definujeme operátora

kde^{a dýka;} je Hermitian konjuguje a. si všimnout toho je ne Hermitian, protože a^{a dýka;} být ne se rovnat. V odvozovat formu^{a dýka;}, my jsme používali skutečnost, že operátoři x a p, který reprezentovat observables, být Hermitian.

X a p operátoři se řídí následující identitou, známý jako kanonická záměna vztah:

.

Hranaté závorky v této rovnici jsou obyčejně-použil notational přístroj, známý jako commutator, definovaný jak

.

Používání nahoře, my můžeme dokážou identity

.

Nyní, nechaný | a psi;_Ea zvonil; naznačovat eigenstate energie se energií E. Vnitřní produkt nějakého ket s sebou musí být non-negativní, tak

.

Vyjadřovat^{a dýka;}v podmínkách Hamiltonian:

,

tak to E a ge; (? a omega; / 2). Si všimnout toho když (| a psi;_Ea zvonil;) je nulový ket (tj. ket s nulou délky), nerovnost je naplněna, tak to E = (? a omega; / 2). To je přímé ke kontrole, která tam existuje státní splnění tohoto předpokladu; to je země (n = 0) stát dávaný v předchozí sekci.

Používání nad identitami, my můžeme nyní ukázat, že vztahy záměny a^{a dýka;} s H být:

.

Tak, poskytovaný (| a psi;_Ea zvonil;) je ne ket nuly,

.

Podobně, my můžeme ukázat to

.

Jinými slovy, jedná podle eigenstate energie E produkovat, až do násobné konstanty, další eigenstate energie (E -? a omega;), a^{a dýka;} jedná podle eigenstate energie E produkovat eigenstate energie (E +? a omega;.) z tohoto důvodu, je nazýván “operátorem snížení”, a^{a dýka;} “operátor zvedání”. Dva operátoři spolu jsou nazýváni “operátory žebříku”. V kvantové polní teorii, a^{a dýka;} být alternativně volal “zničení” a “vytvoření” operátoři protože oni zničí a vytvoří částečky, který odpovídat našim quanta energie.

Daný jakákoliv energie eigenstate, my můžeme jednat podle toho s operátorem snížení,, k produkci jiný eigenstate s? a omega; méně energie. Opakovanou žádostí operátora snížení, to zdá se, že my můžeme produkovat eigenstates energie dole k E = - a infin;. Nicméně, toto by odporovalo našemu časnějšímu požadavku, že E a ge; (? a omega; / 2). Proto, tam muset být základ-energie státu eigenstate, který my označíme | 0 a zvonil; (nebýt zmaten ket nuly), takový to

.

V tomto případě, následující aplikace operátora snížení budou jen produkovat kets nuly, místo toho dalších energetických eigenstate. Dále, my jsme ukázali se nad tím

Konečně, tím, že jedná podle | 0 a zvonil; s operátorem zvedání a násobit vhodnými normalizačními faktory, my můžeme produkovat nekonečný soubor eigenstates energie {| 0 a zvonil;, | 1 a zvonil;, | 2 a zvonil;,..., |na zvonil;,...}, takový to

který odpovídá spektru energie, které my jsme dávali v předchozí sekci.

Přirozená délka a váhy energie

Quantum harmonický oscilátor posedne přirozená měřítka pro délku a energii, který může být používán zjednodušit problém. Jestliže my změříme energii v jednotkách? a omega; a vzdálenost v jednotkách (? / (ma omega; ))^1/2, pak Schrödinger rovnice se stojí:

,

a eigenfunctions energie a eigenvalues se stojí

.

To vyhne se zmatku, my nepřijmeme tyto přirozené jednotky v tomto článku. Nicméně, oni často přijdou šikovný když vykonává vypočítavosti.

N-rozměrný harmonický oscilátor

Jednorozměrný harmonický oscilátor je rychle generalizable k N rozměry, kde N= 1, 2, 3,.... V jednom rozměru, pozice částečky byla specifikována jeden se sladit, x. V N rozměry, toto je nahrazeno N pozice se sladí, který my označíme x₁,...x_N. Odpovídající každému osa pozice je hybnost; my označíme tyto p₁,...p_N. Kanonická záměna vztahy mezi těmito operátory jsou

.

Hamiltonian pro toto systém je

.

Jako forma tohoto Hamiltonian dělá jasný, N- rozměrný harmonický oscilátor je přesně podobný k N nezávislý jednorozměrné harmonické oscilátory se stejnou hmotou a tuhostí pružiny. V tomto případě, kvantity x₁,...x_N by se odkazoval na pozice každého N částečky. Toto je šťastná vlastnost r² potenciální, který dovolí potenciální energii být oddělen do požadavků se spoléhat na jednoho koordinovat každého.

Toto pozorování dělá řešení přímý. V žebříkové operátorové metodě, my vymezíme N soubory operátorů žebříku,

.

Procedurou analogickou s jednorozměrným případem, my můžeme pak ukazovat to každý_i a^{a dýka;}_i operátoři sníží a zvýší energii? a omega; příslušně. Energetické stavy systému jsou

.

Jak v jednorozměrném případě, energie je quantized. Energie základního stavu je N měří jednorozměrnou energii, jak my bychom čekali použít analogie k N nezávislé jednorozměrné oscilátory. Je tam jeden další rozdíl: v jednorozměrném případě, každý energetický stav odpovídá jedinečnému kvantovému stavu. V N- rozměry, kromě pro základní stav, energetické stavy jsou zvrhlé, mínit tam je několik států se stejnou energií.

Související problémy

Quantum harmonický oscilátor může být rozšířen v mnoha zajímavých cestách. My budeme stručně diskutovat dva více důležitých rozšíření, anharmonic oscilátor a spojené harmonické oscilátory.

Anharmonic oscilátor

Jak zmínil se o v úvodu, systém pobývat “se blížit” minimum nějakého potenciálu může být zpracované jako harmonický oscilátor. V tomto přiblížení, my Taylor expanduje potenciální energie kolem minima a odhodit podmínky třetiny nebo vyšší řád, končit přibližným kvadratickým potenciálem. Jednou my jsme studovali systém v tomto přiblížení, my můžeme přát si vyšetřovat opravy přímo k odhozený vyšší-objednávat požadavky, zvláště třetí-objednávat termín.

Anharmonic oscilátor Hamiltonian je harmonický oscilátor Hamiltonian s další x³ potenciální:

Jestliže harmonické přiblížení je platné, koeficient a lambda; je malý se vyrovnal kvadratickému termínu. My můžeme proto používat teorii odchylky určovat opravy ke státům a energetické hladiny uložené anharmonic termínem. Tato úloha může být zjednodušena tím, že používá operátory žebříku přepsat anharmonic termín jak

.

To vypne to oprava k energiím mizet do nejprve-objednat v a lambda;. Druhý-opravy objednávky jsou dány obvyklou rovnicí v teorii odchylky:

.

Toto je přímé, ačkoli nudný, ocenit.

Spojené harmonické oscilátory

V tomto problému, my zvážíme to N rovnat se masám, které jsou propojené na jejich sousedy jary, v limitu velký N. Masy tvoří lineární řetěz v jednom rozměru nebo pravidelnou mříž v dva nebo tři rozměry.

Jak v předchozí sekci, my označujeme pozice mas x₁,x₂,..., jak uměřený od jejich rovnovážných poloh (tj. x_k = 0 jestliže částečka k je u jeho rovnovážné polohy.) v dva nebo více rozměrů, x' s být být vektorové kvantity. Hamiltonian úhrnu systém je

Potenciální energie je sečtena přes “nejbližší-soused” páry, tak je jeden termín pro každé jaro.

Pozoruhodně, tam existuje transformace osy změnit tento problém na soubor nezávislých harmonických oscilátorů, každý který odpovídá zvláštnímu kolektivnímu pokřivení mříže. Tato pokřivení zobrazují nějakou částečku-jako vlastnosti, a být nazýván fonony. Fonony se vyskytují v iontových mřížích mnoho pevných látek, a být extrémně důležitý pro pochopení mnoho z jevů studovaných v fyzice pevného skupenství.