Čtveřice
čtveřice jsou rozšíření reálných čísel, podobný komplexním číslům, kromě: oni mají rozměr 4 poněkud než 2 přes reálná čísla, a rozmnožování čtveřic není komutativní.| Tabulka s obsahem |
| 1 definice 2 vlastnosti 3 reprezentovat čtveřice matrices 4 historie 5 zevšeobecňování 6 vidět také 7 příbuzných prostředků |
Zatímco reálná čísla jsou rozšířena ke komplexním číslům přičtením čísla i takový to i2 = - 1, čtveřice jsou získány elementy připočítání i, j a k k reálným číslům takový to
- i2 = j2 = k2 = ijk = - 1.
| · | 1 | i | j | k |
| 1 | 1 | i | j | k |
| i | i | -1 | k | -j |
| j | j | -k | -1 | i |
| k | k | j | -i | -1 |
Tyto produkty tvoří skupinu čtveřice objednávky 8, Q8.
Unlike skutečná nebo komplexní čísla, rozmnožování čtveřic není komutativní: ij = k, ji = -k, jk = i, kj = -i, ki = j, ik = -j. Čtveřice jsou příklad překroutit pole, algebraická struktura podobná poli kromě pro commutativity násobení. Zvláště, násobení je ještě asociativní a každé non-nulový element má jedinečný inverzní. Oni se tvoří 4-rozměrný asociativní algebra přes reals (ve skutečnosti algebra s dělením) a obsahovat komplex počítá, ale oni netvoří asociativní algebru přes komplexní čísla. Čtveřice, spolu s komplexem a reálnými čísly, být jen konečný rozměrný překroutit pole přes pole reálných čísel.
Non-commutativity násobení má některé nečekané následky, mezi nimi to polynomial rovnice přes čtveřice mohou mít více řešení než míra polynomial ukáže. Rovnice z2 + 1 = 0 například má nekonečně mnoho čtveřic z = bi + cj + dk s b2 + c2 + d2 = 1 jako řešení.
konjugovat čtveřice z = + bi + cj + dk je definován jak z* = - bi - cj - dk, a absolutní hodnota z je non-negativní reálné číslo vymezilo |z| = a radic; (zz*) = a radic; (2 + b2 + c2 + d2). Poznámka, která (wz)*= z*w*, který není obecně se rovnat k w*z*. Multiplikativní inverzní non-nulová čtveřice z moci být příhodně počítán jak z-1 = z* / |z|2.
Tím, že používá funkci vzdálenosti d(z,w) = |z - w|, čtveřice tvoří metrický prostor a aritmetické operace jsou spojité. My také máme |zw| = |z| |w| pro všechny čtveřice z a w. Používat absolutní hodnotu jako norma, čtveřice se tvoří skutečný Banach algebra.
Jak je vysvětlen ve více detailu ve čtveřicích a prostorové rotaci, multiplikativní skupina non-vynulovat akty čtveřic konjugací na kopii R3 sestávat z čtveřic s reálnou částí rovnou nule: to není těžké vidět to konjugace čtveřicí jednotky (čtveřice absolutní hodnoty 1) s reálnou částí cos t je rotace úhlem 2t, rotační osa být směr fiktivní části. Čtveřice jsou někdy použity v počítačové grafice (a sdružil geometrickou analýzu) reprezentovat rotace nebo orientace objektů v 3d prostoru. Výhody jsou: non pozoruhodnou reprezentaci (se vyrovnal Euler úhlům například), kompaktnější (a rychleji) než matrices.
Soubor všech čtveřic jednotky se tvoří 3-rozměrná koule S3 a skupina (vyrovnat Skupinu lži) pod násobením. S3 je dvojitý kryt skupiny Tak(3,R) skutečného orthogonal 3x3 matrices determinanta 1 protože dva čtveřice jednotky odpovídají každé rotaci dolů nad korespondencí. Skupina S3 je isomorphic k Suu(2), skupina komplexu nečleněné 2x2 matrices determinanta 1.
Nechaný být soubor čtveřic formy + bi + cj + dk kde , b, c a d být jeden všechna celá čísla nebo všechna racionální čísla se zvláštními numerator a jmenovatelem 2. Soubor je prsten a mříž. Je jich tam 24 čtveřice jednotky v tomto zvoní a oni jsou vertices 24-buněčné pravidelné polytope s Schläfli symbol {3, 4, 3}.
Reprezentovat čtveřice matrices
Tam být přinejmenším dva způsoby, jak představit čtveřice jako matrices, v takový cesta to sčítání čtveřice a násobení odpovídají maticovému sčítání a maticovému násobení. Jeden má používat 2x2 komplex matrices, a jiný je k použití 4x4 skutečné matrices.
V první cestě, čtveřice + bi + cj + dk je reprezentován jak:
- Všechna komplexní čísla (c = d = 0) odpovídat matrices se jen skutečnými záznamy.
- Čtverec absolutní hodnoty čtveřice je stejný jako determinant korespondenční matice.
- Konjugovat čtveřice odpovídá konjugovat přemístit matice.
- Omezený na čtveřice jednotky, tato reprezentace poskytuje izomorfismus mezitím S3 a Su (2). Druhá skupina je důležitá v kvantové mechanice když se zabývá rotací; vidět všechny Pauli matrices.
Čtveřice byly objeveny William Rowan Hamilton Irsko v 1843. Hamilton hledal způsoby, jak rozšiřovat komplexní čísla (který může být viděn jako body na letadle) k vyšším prostorovým rozměrům. On nemohl dělat tak pro 3-rozměry, ale 4-rozměry produkují čtveřice. Shodovat se k příběhu on prozradil to, on ven prošel jeden den s jeho ženou když řešení ve formě rovnice i2 = j2 = k2 = ijk = - 1 najednou napadl jej; on pak ihned porcoval tuto rovnici na stranu blízkého Brougham mostu (nyní volaný Broom most) v Dublinu.
Toto zahrnulo opouštět komutativní zákon, radikální krok pro čas. Vektorová algebra a matrices byli ještě v budoucnosti. Ne jediný toto, ale Hamilton měl v jistém smyslu vynalezl kříž a tečkové produkty vektorové algebry. Hamilton také popisoval čtveřici jak objednal čtyři-elementový násobek reálných čísel, a popisoval první element jak ' skalární ' část, a zbývající tři jak ' vektor ' část. Jestliže dvě čtveřice s nulovými skalárními částmi jsou násobeny, skalární část produktu je zápor tečkového produktu vektoru se rozdělí, zatímco vektorová část produktu je produkt kříže. Ale význam tito byli ještě být objeven.
Hamilton pokračoval popularizovat čtveřice s několika knihami, poslední který, Prvky čtveřic, měl 800 stran a byl publikoval krátce po jeho smrti.
Dokonce do této doby tam byl spor o použití čtveřic. Někteří Hamiltonových podporovatelů hlučně oponoval rostoucí pole vektorové algebry a vektorového počtu (rozvinutý Oliver Heaviside a Willard Gibbs mezi ostatními), tvrdit, že čtveřice poskytovaly nadřazenou notaci. Zatímco toto je sporné ve třech rozměrech, čtveřice nemohou být použity v ostatních dimenzích (ačkoli rozšíření ráda octonions a Clifford algebras mohou být více použitelné). V každém případě, vektorový zápis měl téměř všeobecně nahradil čtveřice ve vědě a inženýrství střední-20. století.
Dnes, čtveřice vidí použití v počítačové grafice, teorii kontroly, zpracování signálu a okružní mechanice, hlavně pro reprezentovat rotace/orientace ve třech rozměrech. Například, to je obyčejné pro postoj kosmické lodi-kontrolní systémy být přikázán v podmínkách čtveřic, který být také zvyklý na dálkové měřidlo jejich současný postoj. Logický výklad to zkombinuje mnoho transformací čtveřice je více číselně stabilní než kombinovat mnoho maticových transformací. Zevšeobecňování
Jestliže F je některý pole a a b jsou elementy F, jeden může vymezit čtyřrozměrný unitary asociativní algebra přes F tím, že používá dva generátory i a j a vztahy i2 = , j2 = b a ij = -ji. Tyto algebras jsou jeden isomorphic k algebře 2-- 2 matrices přes F, nebo oni jsou algebras divize přes F. Oni jsou nazýváni algebras čtveřice.
Příbuzné zdroje
- Dělající fyzika se čtveřicema
- Kalkulačka čtveřice [Java]
- Fyzické dědictví sira W. R. Hamiltona (PDF)
- Kuipers, Jack (2002). Čtveřice a sekvence rotace: Základ se použitími na orbity, vzdušný prostor a virtuální realitu (přetisknout vydání). Princeton univerzitní tiskárna. ISBN 0691102988