Náhodná proměnná

My můžeme myslet na náhodnou proměnnou jako numerický výsledek provozovat non-deterministický mechanismus nebo vykonávat non-deterministický experiment tvořit náhodný výsledek. Například, kroužení umřít a zapsaní výsledku vydává náhodnou proměnnou s rozsahem {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Si vybírat náhodnou osobu a měřit jejich výšku vydává další náhodnou proměnnou.

Matematicky, náhodná proměnná je definována jako měřitelná funkce od prostoru pravděpodobnosti k nějakému měřitelnému prostoru. Tento měřitelný prostor je doba možných hodnot proměnné a to je obvykle vzato být reálná čísla s Borel a sigma; - algebra, a my vždy převezmeme toto v této encyklopedii, ledaže jinak specifikovaný.

Tabulka s obsahem

1 distribuce funguje 2 funkce náhodných proměnných 2.1 příklad 3 momenty 4 sbližování

Distribuční funkce

Jestliže náhodná proměnná X: a omega; - >R definovaný na prostoru pravděpodobnosti (a omega;, P) je dáván, my můžeme položit otázky jako “jak pravděpodobný je to to hodnota X je větší než 2?”. Toto je stejné jako pravděpodobnost události {s v a omega;: X(s) > 2} který je často psán jak P(X > 2) v krátkosti.

Zaznamenat všechny tyto pravděpodobnosti rozsahů výstupu skutečný-cenil náhodnou proměnnou X dá rozdělení pravděpodobnosti X. Rozdělení pravděpodobnosti “zapomene” o zvláštní pravděpodobnosti prostor vymezil X a jen zaznamená pravděpodobnosti různých hodnot X. Takový rozdělení pravděpodobnosti může vždy být zajato jeho narůstající distribuční funkcí

_X(x) = P (X a le; x)

a někdy také používat funkci hustoty pravděpodobnosti. V míra-teoretický požadavky, my používáme náhodnou proměnnou X k “tlak-přední” míra P na a omega; k míře dF na R. Základový pravděpodobnostní prostor a omega; je technické zařízení zvyklé na záruku existence náhodných proměnných, a někdy budovat je. V praxi, jeden často se zbaví prostoru a omegy; dohromady a jen vezme si míru R to přiřadí míru 1 k celé reálné ose, tj., jeden pracuje s rozděleními pravděpodobnosti místo toho náhodných proměnných.

Funkce náhodných proměnných

Jestliže my máme náhodnou proměnnou X na a omega; a měřitelná funkce f:R- >R, pak Y=f(X) bude také být náhodná proměnná na a omega;, protože složení měřitelných funkcí je měřitelné. Stejný procedura, která dovolila jednoho jít od prostoru pravděpodobnosti (a omega;, P) k (R, dF_X) moci být používán dostat rozdělení pravděpodobnosti Y. Narůstající distribuční funkce Y je

F_Y(y) = Prob (f(X) a le; y).

Příklad

Nechaný X být skutečný-cenil náhodnou proměnnou a nechával Y = X². Pak,

F_Y(y) = Prob (X²a le; y).

Jestliže yX²a le;y) = 0, tak

F_Y(y) = 0 jestliže y

Jestliže ya ge; 0, pak Prob (X²a le;y) = Prob (|X| a le; a radic;y) = Prob (- a radic;ya le;Xa le; a radic;y), tak

F_Y(y) = F_X(a radic; \y) - F_X(- a radic;y) jestliže ya ge; 0.

Momenty

Rozdělení pravděpodobnosti náhodné proměnné je často charakteristické malým množstvím parametrů, který také mít praktický výklad. Například, to je často dost znát co jeho “průměrná hodnota” je. Toto je zajato matematickou představou finančního efektu náhodné proměnné, označil E [X]. Si všimnout toho obecně, E [f(X)] je ne stejný jak f(E [X]). Jednou “průměrná hodnota” je znána, jeden mohl pak se zeptat jak daleko od této průměrné hodnoty hodnoty X typicky být, otázka, která je odpověděla rozdílností a směrodatná odchylka náhodné proměnné.

Matematicky, toto je známé jako (celkový) problém momentů: pro danou třídu náhodných proměnných X, najít sbírku {_i} funkcí takový to pravděpodobné hodnoty E [_i(X)] úplně charakterizovat rozdělení náhodné proměnné X.

Sbližování

Hodně z matematických statistik spočívá ve zkušebním sbližování výsledky pro jisté sledy náhodných proměnných; vidět například právo velkých množství a centrální limitový teorém.

Tam jsou různé smysly ve kterém sekvence (X_n) náhodné proměnné mohou sblížit se k náhodné proměnné X. Tito jsou vysvětleni v článku o sbližování náhodných proměnných.

---

Viz též: diskrétní náhodná veličina, nepřetržitá náhodná proměnná, rozdělení pravděpodobnosti, náhodnost, náhodný vektor, náhodná funkce, tvořit funkci