Zařadit (maticovou teorii)

V lineární algebře, pozice sloupce (veslovat na pozici příslušně) matice se záznamy v některých pole je definováno být maximal množství sloupců (řady příslušně) který být linearly nezávislý.

Pozice sloupce a pozice řádku jsou opravdu se rovnat a je prostě nazýván pozicí . To je obyčejně naznačováno jedním rk () nebo pozice .

Tabulka s obsahem

1 alternativní definice 2 vlastnosti 3 počítání 4 zevšeobecňování

Alternativní definice

Maximal množství linearly nezávislých sloupců m- -n matice se záznamy na poli F je stejný s rozměrem prostoru sloupce (prostor sloupce být subspace F^m vytvořený sloupci ).

Jinak a equivalently, my můžeme definovat pozici jako dimenze prostoru řady .

Jestliže jeden zvažuje matici jako lineární mapa

f : Fⁿ -> F^m

s pravidlem

f(x) = Ax

pak pozice moci také být definovaný jako rozměr obrazu f, nebo jak n bez dimenze jádra f (vidět lineární mapu pro diskuzi o obraze a jádro). Tyto definice mají výhodu, že oni mohou být aplikováni na nějakou lineární mapu bez potřeby specifické matice.

Vlastnosti

My předpokládáme, že je m- -n matice přes pole F a popisuje lineární mapu f jak je uvedeno výše.

• pozice je u většiny min (m,n)
• f injective jestliže a jediný jestliže má pozici n (v tomto případě, my říkáme, že má plný sloupec pozici).
• f surjective jestliže a jediný jestliže má pozici m (v tomto případě, my říkáme, že má plnou řádkovou pozici).
• V případě čtvercové matice (tj., m = n), pak invertible jestliže a jediný jestliže má pozici n (my říkáme, že má plnou pozici).
• Jestliže B je některý n- -k matice, pak řada AB je u nejvíce minimum pozice a pozice B.

Jako příklad”

• Jestliže B je n- -k matice s pozicí n, pak AB má stejnou pozici jak .
• Jestliže C je l- -m matice s pozicí m, pak CA má stejnou pozici jak .
• Pozice je se rovnat k r jestliže a jediný jestliže tam existuje invertible m- -m matice X a invertible n- -n matice Y takový to

kde já_r označí r- -r identitní matice.

• Řada matice plus neplatnost matice se rovná množství sloupů matice (toto je “teorém pozice” nebo”pozice-teorém neplatnosti”).

Počítání

Nejsnadnější způsob, jak počítat řadu matice je dáván Gauss metoda eliminace. Řada-forma vrstvy produkoval Gauss algoritmem má stejnou pozici jak , a jeho pozice může být čtena pryč jako množství non-nula se hádá.

Zvážit to například 4-- 4 matice

My vidíme, že druhý sloupec je dvakrát první sloupec, a že čtvrtý sloupec se rovná součtu první a třetí. První a třetí sloupce jsou nezávislá osoba linearly tak pozice je dva. Toto může být potvrzeno s Gauss algoritmem. To produkuje následující řádkovou vrstvu forma :

který má dva non-nula se hádá.

Zevšeobecňování

Tam jsou různá zevšeobecňování představy o pozici k matrices přes libovolný prsten. V těch zevšeobecňováních, pozici sloupce, pozici řádku, dimenzi sloupcového prostoru a dimenzi řady doba matice může být různá od jiní nebo smět ne existovat.