Skutečná analýza
Skutečná analýza je to odvětví matematického analýzového prodávání s souborem reálných čísel a funguje reálných čísel. To může být viděno jako pečlivá verze počtu a pojetí studi takový jako sekvence a jejich limity, souvislost, rozdílnost, integrace a sledy funkcí.Představení skutečné analýzy v pokročilých textech obvykle začíná jednoduchý důkazy v základní teorii množin, čisté definici představy o funkci a úvodu do přirozených čísel a důležité důkazové techniky matematického přerušení.
Pak reálná čísla jsou jeden představený axiomatically nebo oni jsou postaveni z sledů racionálních čísel. Počáteční důsledky jsou odvozeny, nejvíce důležitě vlastnosti absolutní hodnoty takový jako nerovnost trojúhelníku a Bernoulli nerovnost.
Pojetí sbližování, centrální vůči analýze, je představen přes limity sekvencí. Několik práv řídící omezený proces může být odvozen a několik limitů může být počítáno. Nekonečná řada, který jsou zvláštní sekvence, být také studován v tomto bodě. Mocninové řady poslouží, že čistě definuje několik centrálních funkcí, takový jako exponenciální funkce a goniometrické funkce. Různé důležité druhy podmnožin reálných čísel, takové jak otevřené soubory, uzavřené soubory, kompaktní soubory a jejich vlastnosti jsou představeni příště.
Pojetí souvislosti může nyní být definováno přes limity, jeden může ukazovat to součet, produkt, složení a kvocient spojitých funkcí je spojitý, a důležitý přechodný hodnotový teorém je dokázaný. Ponětí o derivátu může být představeno jako zvláštní omezený proces a známá rozdílnost vládne z početní plechovky být dokázaný pečlivě. Centrální teorém tady je teorém střední hodnoty.
Pak jeden může dělat integraci (Riemann a Lebesgue) a se ukázat jako Základní teorém počtu, typicky používat teorém střední hodnoty.
V tomto bodě, to je užitečné pro studium ponětí o souvislosti a sbližování ve více abstraktním nastavení, aby později zvažoval doby funkcí. Toto je odděláno bod dal topologii a používání metrické prostory. Pojetí takový jako kompaktnost, úplnost, connectedness, jednotná souvislost, oddělitelnost, Lipschitz mapy, contractive mapy jsou vymezil a vyšetřil.
My můžeme vzít limity funkcí a pokus měnit pořadí integrals, deriváty a limity. Ponětí o jednotném sbližování je důležité v tomto kontextu. Tady, to je užitečné mít základní znalost normed vektorových prostorů a prostory skalárního součinu. Taylor série mohou také být představeny tady.