Reflexivní prostor

V funkční analýze, Banach prostor je volán reflexivní jestliže to uspokojí jistou abstraktní vlastnost zahrnovat dvojí prostory. Reflexivní prostory dopadají mít žádoucí geometrické vlastnosti.

Tabulka s obsahem

1 definice 2 příklady 3 vlastnosti

Definice

Předpokládat X je prostor Banache. My označíme X ' jeho spojitý dvojí, tj. doba všech spojitý lineární mapy od X k poli základu (R nebo C). Toto je znovu Banach prostor, jak vysvětlil to v dvojím prostorovém článku. Tak my můžeme se tvořit dvojitý dvojí X”, spojitý dvojí X '. Tam je předurčený člověk spojitý lineární transformace

J : X a rarr; X”

definovaný

J(x) (a phi;) = a phi; (x) pro každý x v X a a phi; v X '.

Jako důsledek Hahn-Banach teorém, J je norma-konzervování (tj., | |J(x) | | = | |x| |) a od této doby injective. Prostor X je volán reflexivní jestliže J bijective.

Příklady

Všechny Hilbert prostory jsou reflexivní, jak být ^p prostory pro 1 p

Vlastnosti

Každý uzavřený subspace reflexivního prostoru je reflexivní.

Sliboval geometrická vlastnost reflexivních prostorů je sledování: jestliže C je uzavřený non-vyprázdnit konvexní podmnožinu reflexivního prostoru X, pak pro každý x v X tam existuje c v C takový to | |x - c| | minimalizuje vzdálenost mezi x a body C. (si všimnout toho zatímco minimial distancují se mezitím x a C je jedinečně definovaný x, bod c je ne.)

Prostor je reflexivní jestliže a jediný jestliže jeho dvojí je reflexivní.

Prostor je reflexivní jestliže a jediný jestliže jeho míč jednotky je kompaktní v slabé topologii.