Russellův paradox

Russellův paradox je paradox objeven Bertrandem Russellem v 1901 který ukazuje to naivní teorie množin Cantor a Frege je neslučitelný. Zvažovat soubor M být “soubor všech souborů, které se neovládají jak členové”. Formálně: je element M jestliže a jediný jestliže je ne element .

V systému Cantora, M je přesně stanovený soubor. Dělá M se ovládat? Jestliže to dělá, to není člen M shodovat se k definici. Na druhé straně, jestliže my předpokládáme, že M se neovládá, pak to musí být člen M, znovu shodovat se k samé definici M. Proto, sdělení”M je člen M” a”M je ne člen M” oba vedou k rozporům.

V Frege systému, M odpovídá pojetí nepadá dolů jeho definovat pojetí. Frege systém také vede k rozporu: to tam je třída definovaná tímto pojetím, který padá dolů jeho definovat pojetí jen v případě to dělá ne.

Historie

Přesně když Russell zjistil paradox není jasný. To zdá se k byli květen nebo červen 1901, pravděpodobně v důsledku jeho práce na Cantorově teorému že množství entit v jisté doméně je menší než množství subclasses těch entit. V Russellových principech matematiky (nebýt zmatený s pozdnější Principia Mathematica) kapitola X, sekce 100, kde on nazývá to “rozporem” on říká, že on byl veden k tomu tím, že analyzuje Cantorův důkaz, který tam může být žádný největší kardinál. On také se zmíní o tom v 1901 papíru v mezinárodním měsíčníku, opravňoval “nedávnou práci ve filozofii matematiky” Russell se zmiňoval o Cantorově důkazu, že není tam žádný největší kardinál a říkal, že “pán” byl provinilý důvtipným klamem, že on by diskutoval později.

Skvěle, Russell psal Frege o paradoxu v červnu 1902, jen jak Frege připravil druhý objem jeho Grundgesetze. Frege byl nucený připravit slepé střevo v odezvě na paradox, ale toto později ukázalo se neuspokojivé. To je obyčejně předpokládal, že toto vedlo Frege kompletně opustit jeho práci na logice tříd *.

[* Někteří historici revisionist namítali proti tomuto, může někdo dodávat odkazy?]

Zatímco Zermelo pracoval na jeho verzi teorie množin, on také si všiml paradoxu ale myšlenky to příliš zřejmý a nikdy vydával něco o tom! Zermelo systém vyhne se potíži přes slavný Axióm oddělení (Aussonderung).

Russell, s Alfred North Whitehead, zaručil se, že vykoná Frege úkol, tentokrát používat více omezenou verzi teorie množin to, oni mysleli si, by nepřipustil Russellův paradox, ale by ještě produkoval aritmetiku. Kurt Gödel později ukázal, že, dokonce jestliže to bylo shodné, to neuspělo v redukovat všechny matematika k logice - opravdu toto nemohlo být děláno: aritmetika je “neúplný.”

Snadný-k-rozumět verzi paradoxu

Tam jsou některé verze tohoto paradoxu který být blíže k skutečný-situace života a smět být snadnější rozumět pro non-logici: Například, Barber paradox který zvažuje holiče, který holí každého kdo se neholí, a žádný jinde. Když vy začnete myslet na zda on by měl se holit nebo ne vy budete být maten...

Podobně, Russellův paradox se ukáže jako to, na Wikipedia, jestliže my jsme měli vstup na seznamu všech seznamů, které se neovládají, pak ten seznam musí být jeden neúplný (jestliže to nevypíše sebe) nebo nesprávný (jestliže to dělá).

Po tomto paradox byl popisován, teorie množin musela být reformulated axiomatically jako axiomatická teorie množin v cestě, která se vyhnula tomuto a jiných souvisejících problémách. Russell sám, spolu s Alfred North Whitehead, vyvinul úplný systém typů v jeho zpracovat Principia Mathematica. Tento systém přece opravdu vyhýbá se známým paradoxům a počítá s formulací všichni matematiky, ale to nebylo široce přijímané. Nejvíce obyčejná verze axiomatické teorie množin v použití dnes je Zermelo-Fraenkel teorie množin, který se vyhne ponětí o typech a omezí vesmír souborů k těm který může být postaven z daných souborů používat jisté axiómy. Objekt M diskutoval nahoře moci ne být budován jako to a je proto ne soubor v této teorii; to je pořádná třída.

Barber paradox, kromě vedení k uklizenější teorii množin, byl používán dvakrát více s velkým úspěchem: Kurt Gödel se ukázal jako jeho incompleteness teorém tím, že formuje paradox, a Turing se ukázal jako undecidability Váhavého problému (a s tím Entscheidungsproblem) tím, že používá stejný trik.

Russellův paradox je blízko příbuzný Paradoxu lháře.