Schrödinger rovnice
V fyzice, Schrödinger rovnice, vyvinutý Rakušanem fyzik Erwin Schrödinger v 1925, popíše čas-závislost quantum mechanický systémy. To je centrální důležitosti pro teorii kvantové mechaniky, hrát roli analogickou s Newtonovým druhým právem v klasické mechanice.
V kvantové mechanice, soubor všech možných stavů systému je popsaný komplexem Hilbert prostor, a nějaký okamžitý stav systému je popsaný jednotkovým vektorem v tom prostoru. Tento vektor státu zakóduje pravděpodobnosti pro výsledky všech možných měření aplikovaných k systému. Jak stav systému obecně se mění v průběhu doby, vektor státu je funkce času. Schrödinger rovnice podá kvantitativní popis rychlosti změny vektoru státu.
Používání Dirac je podprsenka-ket notace, my označujeme ten okamžitý státní vektor v době t | a psi; (t) a zvonil;. Schrödinger rovnice je:
kde
i je
jednotkové imaginární číslo, je
Planck konstanta rozdělená 2 a pi;, a
Hamiltonian H je
Hermitian (self-adjoint)
lineární operátor jednat podle státního prostoru. Hamiltonian popisuje úhrn
energie systému. Jak s
sílou se vyskytovat v Newtonově druhém práve, jeho přesná forma není poskytovaná Schrödinger rovnice, a muset být nezávisle předurčený založený na fyzikálních vlastnostech kvantového systému.
Pro více informace o roli operátorů v kvantové mechanice, viďte matematické vyjadřování kvantové mechaniky.
Čas-nezávislý Schrödinger rovnice
Pro každý Hamiltonian, tam existuje soubor kvantových stavů, známý jako eigenstates energie, uspokojující eigenvalue rovnice
Takový stát posedne konečnou úplnou energii, jehož hodnota
E je eigenvalue vektoru státu se Hamiltonian. Tato rovnice eigenvalue je odkazoval se na jak
čas-nezávislý Schrödinger rovnice. Hermitian operátoři takový jak Hamiltonian má vlastnost to jejich eigenvalues jsou vždy
reálná čísla, zatímco my bychom čekali protože energie je fyzicky pozorovatelná kvantita.
Na vkládat čas-nezávislý Schrödinger rovnice do plný Schrödinger rovnice,
To jde snadno vyřešit tuto rovnici. My najdeme to jak čas postupuje, státní vektory eigenstates energie se mění jediný komplex
fáze:
Eigenstates energie jsou vyhovující práci s protože jejich čas-závislost je tak jednoduchá; to je proč čas-nezávislý Schrödinger rovnice je tak užitečná. My můžeme vždy si vybrat soubor
okamžité energie eigenstates jehož státní vektory {|
na zvonil;} tvořit
základ pro státní prostor. Pak nějaký státní vektor | a psi; (
t) a zvonil; moci být psán jako
lineární superpozice eigenstates energie:
(Poslední rovnice prosazuje požadavek to | a psi; (
t) a zvonil;, jako všechny vektory státu, muset být jednotkový vektor.) platit Schrödinger rovnice ke každé straně první rovnice a používání skutečnost, že energie vektory základu jsou samozřejmě
linearly nezávislý, my ochotně trváme
Proto, jestliže my známe rozložení | a psi; (
t) a zvonil; do základu energie v době
t = 0, jeho hodnota v nějaké následující době je dávána jednoduše
Základ pozice
Prostor státu mnoho (ale ne všichni) kvantové systémy mohou být trvány s základem pozice. V této situaci, Schrödinger rovnice může být příhodně reformulated jak parciální deferenciální rovnice pro wavefunction, komplex skalární pole se spoléhat na pozici stejně jako čas. Tato forma Schrödinger rovnice je odkazoval se na jak Schrödinger vlnová rovnice.
Prvky základu pozice jsou nazývány eigenstates pozice. My zvážíme to jen jeden-systém částečky, pro kterého každý eigenstate pozice může být označován |ra zvonil;, kde popiska r je skutečný vektor. Toto má být interpretováno jako stát ve kterém částečka je lokalizována u pozice r. V tomto případě, prostor státu je doba celého čtverce-integrable komplexní funkce.
Wavefunction
My definujeme wavefunction jako projekci státního vektoru | a psi; (t) a zvonil; na základě pozice:
Od pozice eigenstates tvoří východisko pro státní prostor, základní přes všechny operátory projekce je
identitní operátor:
Toto sdělení je nazýváno řešením identity. S tímto, a skutečnost, že kets mají normu jednotky, my můžeme ukázat to
kde a psi; (
r,
t) * naznačuje komplex konjugovat a psi; (
r,
t). Tento důležitý výsledek řekne nám to absolutní čtverec wavefunction, integrovaný přes celý prostor, muset být se rovnat k 1:
My můžeme tak interpretovat absolutní čtverec wavefunction jak
hustotu pravděpodobnosti pro částečku být nalezený u každého bodu ve vesmíru. Jinými slovy, | a psi; (
r,
t) |? d? r je pravděpodobnost, v době
t, nálezu částečka v nekonečně malé oblasti hlasitosti d? r obklopovat pozici
r.
My jsme předtím ukázali, že eigenstates energie mění se jen fází komplexu, zatímco čas postupuje. Proto, absolutní čtverec jejich wavefunctions dělat změnu poznámky s časem. Eigenstates energie tak odpovídají statickým rozdělením pravděpodobnosti.
Operátoři v základě pozice
Nějaký operátor hraní na wavefunction je definováno v základě pozice
Operátoři
na dvou stranách rovnice jsou jiné věci: ten vpravo jedná podle kets, zatímco ten levých aktů na skalárních polích. To je společné použití stejný symboly naznačovat operátory jednat podle kets a jejich projekcí na základě. Obvykle, druh operátora ke kterému jeden odkazuje je zřejmý od kontextu, ale toto je možný zdroj zmatku.
Schrödinger vlnová rovnice
Využívat pozici-notace základu, Schrödinger rovnice může být psána v základě pozice jak:
Tato forma Schrödinger rovnice je
Schrödinger vlnová rovnice. To může vypadat, že toto je
obyčejná diferenciální rovnice, ale ve skutečnosti Hamiltonian operátor typicky zahrnuje parciální derivace se ohledem na proměnnou pozice
r. Toto obvykle opustí nás s těžký
nelineární parciální deferenciální rovnice platit.
Často, Hamiltonian může být vyjádřen jako suma dvou operátorů, jeden odpovídající kinetické energii a jiný k potenciální energii. Pro jedinou částečku hmoty m s žádným elektrickým nábojem a žádnou rotací, termín kinetické energie může být psán jak
kde
p je
hybnost operátor, definovaný:
Termín potenciální energie může být vyjadřoval skutečnou skalární funkci
V =
V(
r), který popisuje potenciální energii částečky u pozice
r. Dávat tyto spolu, my trváme
kde
2 je
Laplacian. Toto je obyčejně narazená forma Schrödinger vlnová rovnice, ačkoli ne ten nejobecnější.
Řešení Schrödinger rovnice
Analytická řešení času-nezávislý Schrödinger rovnice může být získána pro paletu relativně jednoduchých podmínek. Tato řešení poskytují pohled do povahy kvantových jevů a někdy poskytují rozumnou aproximaci chování více komplexních systémů (např., v statistické mechanice, molekulární chvění jsou často zaokrouhlená jako harmonické oscilátory). Několik obvyklejších analytických řešení obsahovat: