Sekunda-objednávat logiku

V formální logice, sekunda-objednávat logiku liší se od nejprve-objednávat logiku v tom to dovolí počítání přes podmnožiny domény nebo funkce od domény do sebe, poněkud než jediný přes individuální členy domény. Tak, například, jestliže doména je soubor všech reálných čísel, jeden může tvrdit v nejprve-objednávat logice existenci přísady inverzní každého reálného čísla psaním

ale jedna sekunda potřeb-nařídit logice tvrdit nejméně-horní-svázal vlastnictví reálných čísel:

a vkládání v místě teček prohlášení, že jestliže je nonempty a má horní spojený v R pak má nejméně horní spojený v R.

Proč přidělovat-logika objednávky není reducible k nejprve-objednávat logiku

Optimista by mohl pokoušet se redukovat sekundu-objednávat logiku k nejprve-objednávat logiku následujícím způsobem. Rozšířit doménu od souboru všech reálných čísel ke spojení toho souboru se souborem všech soubory reálná čísla. Přidat nový binární predikát k jazyku: vztah členství. Pak věty, které byly přidělují-objednat stát se nejprve-objednat.

Ale poznamenat, že doména byla prosazena obsahovat soubory reálných čísel. Že požadavek nebyl redukovaný k nejprve-objednávat větu! Ale směl tam být nějaký způsob, jak dosáhnout redukce? Klasika Löwenheim-Skolem teorém znamená to tam není. Ten teorém znamená, že to tam je nějaká countably nekonečná podmnožina R, jehož členové, které my odkážeme volají interní číslaa nějaký countably nekonečný soubor souborů interních čísel, jehož členové, které my odkážeme volají “interní soubory”, takový to doména sestávat z interních čísel a vnitřních souborů uspokojí všechny první-objednávat věty uspokojené doménou skutečný-čísla-a-soubory-- skutečný-čísla. Zvláště, to uspokojí druh nejméně-horní-svázal axióm, který říká, ve skutečnosti:

Každý nonempty interní soubor, který má interní horní spojený má nejméně interní horní spojený.

Countability souboru všech interních čísel (v spojení se skutečností, že ti tvoří hustě spořádaný soubor) nutně znamená, že ten soubor neuspokojí plný nejméně-horní-svázal axióm. Countability souboru všech interních souborů nutně znamená, že to není soubor všech podmnožiny souboru všech interních čísel (protože Cantorův teorém znamená, že soubor všech podmnožin countably nekonečné množiny je uncountably nekonečná množina).

Ještě jeden hluboký rozdíl mezi nejprve-objednávat a přidělovat-logika objednávky je téma příští sekce.

Sekunda-logika objednávky postrádá zdravost a teorémy úplnosti

To je důsledek Gödel incompleteness teorém že jeden nemůže mít nějakou představu provability sekundy-objednávat rovnice to současně uspokojí tyto tři desiderata:

• (Zdravost) každá sekunda provable-věta objednávky je všeobecně platná, tj., pravdivý ve všech doménách.

• (Úplnost) každá všeobecně platná sekunda-rovnice objednávky je provable.

• (“Účinnost”) tam je důkaz-kontrolovat algoritmus. (tato třetí podmínka je často vzata tolik za samozřejmost že to není výslovně řečené.)

Toto je někdy vyjadřováno tím, že říká tu sekundu-logika objednávky nepřipustí teorii důkazu.

V této respektové vteřině-logika objednávky liší se od nejprve-objednávat logiku.