Prostor-plnit křivku
Intuitivně, “táhlá zatáčka” v 2-rozměrné letadlo nebo v 3-dimenzionální prostor může být myšlenka jak “cesta nepřetržitě pohybovat bodem”. Odklidit neodmyslitelnou nejasnost tohoto pojmu, Jordán v 1887 představil následující pečlivou definici, který má protože been adoptoval jako přesný popis ponětí o “táhlé zatáčce”:Křivka (s koncovými body) je spojitá funkce jehož doména je pauza jednotky [0, 1]. V nejobecnějším ročníku, rozsah takový funkce může spočívat v libovolném topological prostoru, ale v nejvíce obyčejných případech, rozsah bude spočívat v Euclidean prostoru takový jak 2-rozměrný hoblovat (“křivku letadla”) nebo 3-dimenzionální prostor (“křivka prostoru”).
Někdy, křivka je poznána s rozsahem nebo představou o funkci (soubor všech možných hodnot funkce), místo toho funkce sám. To je také možné definovat křivky bez koncových bodů být spojitá funkce na reálné ose (nebo na otevřené jednotkové pauze (0, 1 )).
Prostor-plnit křivky jsou křivky jehož rozsahy obsahují celý 2-rozměrný jednotkový čtverec (nebo 3-rozměrná jednotková kostka). Jeden může se zeptat: Být tam nějaký prostor plnit křivky?
V 1890, Peano objevil hustě self-křížící se křivka, která prošla každým bodem čtverce jednotky! Toto první příklad prostoru vyplnil křivku.
To bylo společné asscoiate mlhavá ponětí “hubenosti” a “1-rozměrnost” ke křivkám; všichni normálně se setkal s křivkami byly piecewise hladké (to je, mají piecewise nepřetržité deriváty), a takové křivky nemohou se plnit-zvýšit celý jednotkový čtverec. Proto, Peano prostor sytá křivka se nalézala být velmi pult-intuitivní.
Od Peano má příklad, to šlo snadno odvodit táhlé zatáčky jehož rozsahy obsahovaly n-rozměrné hypercube (pro nějaké pozitivní celé číslo n). To bylo také snadné rozšířit Peano příklad pro táhlé zatáčky bez koncových bodů, které se plnily celý n-rozměrný Euclidean prostor (kde n je 2, 3, nebo nějaké jiné pozitivní celé číslo).
Náčrt konstrukce prostoru-plnit křivku
Nechaný naznačovat Cantor prostor .
My začínáme spojitou funkcí od Cantor prostoru
na celé jednotkové pauze. (Omezení Cantor funkce k Cantor souboru je příklad takový funkce.) od toho, my dostaneme spojitou funkci od produktu topological
na celé jednotcečtverec nastavením
Protože Cantor soubor homemorphic k produktu, tam je nepřetržitý bijection od Cantor souboru na. Složení a
spojitá funkce mapuje Cantor souborna celém jednotkovém čtverci. (jinak, my jsme mohli používat teorém že každý kompaktní metrický prostor je nepřetržitá představa o Cantor souboru dostat funkci.)
Konečně, jeden může se rozšířit do spojité funkce která doména je celá jednotková pauza. Toto může být děláno jeden tím, že používá Tietze rozšiřovací teorém na každém komponent, nebo tím, že prostě rozšíří “linearly” (to je, na každém vymazal otevřenou pauzu v konstrukci Cantor souboru, my definujeme část rozšíření na
být úsečka uvnitř čtverce jednotkypřipojovat se k hodnotám a).
Hahn-Mazurkiewich teorém je následující charakterizace obecných táhlých zatáček:
Hausdorff topological prostor je nepřetržitá představa o pauze jednotky jestliže a jediný jestliže to je kompaktní, připojený, místně připojené metrizable rozmístí.