Spektrální teorém

Spektrální teorém je důležitý rozkladný teorém normálních operátorů v lineární algebře a funkční analýza. Řečené rozložení je nazýváno spektrálním rozložením.

Tabulka s obsahem

1 funkční analýza 2 konečný rozměrný případ 2.1 skutečné matrices 3 vidět také

Funkční analýza

Jestliže M je normální operátor, se zřetelnými eigenvalues a lambda;₁ ,..., a lambda;_m, pak tam existovat nxn hermitian idempotent operátoři P₁,..., P_m takový to

kdykoli j a k být zřetelný, a takový to

Operátor P_j je projekce orthogonal operátor jehož rozsah je ten eigenspace.

Konečný rozměrný případ

Ve spektrálním rozložení normální matice M, pozice matice P_j dimenze eigenspace patří k a lambda;.

Více známá forma spektrálního teoréma je že nějaká normální matice může být diagonalized nečleněnou maticí. To je, pro nějakou normální matici , tam existuje nečleněná matice U takový to

=U^*a Sigma;U

kde a Sigma; je matice úhlopříčky kde záznamy jsou eigenvalues . Dále, nějaká matice které diagonalizes v této cestě musí být normální.

Sloupcové vektory U být eigenvectors a oni jsou orthogonal.

To mohlo být viděno jako zvláštní případ Schur rozložení.

Skutečné matrices

Jestliže je skutečná symmetric matice, pak U mohl být vybrán být matice orthogonal a všechny eigenvalues být skutečný.

Viz též

• Maticové rozložení
• Jordán rozložení, “algebraická” analogie k spektrálnímu rozložení.
• Pozoruhodné hodnotové rozložení, zevšeobecňování spektrálního teoréma k libovolnému matrices.