Pravidlo náhrady

V počtu, pravidlo náhrady je důležitý prostředek k antiderivatives nálezu a integrals. To je protějšek pravidla řetězu pro rozdílnost.

Předpokládat f(x) je integrable funkce, a a phi; (t) je nepřetržitě differentiable funkce, která je vymezila na pauze [, b] a jehož obraz je obsažený v doméně f. Pak

Rovnice je nejlépe si pamatoval používat Leibniz ' formalizmus: náhrada x = a phi; (t) dá dx/dt = a phi; ' (t) a tak formálně dx = a phi; ' (t) dt, který je přesně požadované nahrazení dx. (ve skutečnosti, jeden může prohlížet si pravidlo náhrady jako hlavní ospravedlnění Leibniz formalizmu pro integrals a deriváty.)

Rovnice je používána převádět základní do jiného jeden který (nadějně) je snadnější stanovit. Tak, rovnice může být používána “od odešel spravit” nebo od “pravý k odešel” aby zjednodušil daný základní.

Tabulka s obsahem

1 příklady 2 Antiderivatives 3 substituční pravidlo pro rozmanité proměnné

Příklady

Zvážit to základní

Tím, že používá náhradu x = t² + 1, my trváme dx = 2t dt a

Tady my jsme používali pravidlo náhrady “od pravý k odešel”. Poznámka jak nižší limit t = 0 byl změněn do x = 0² + 1 = 1 a horní hranice t = 2 do x = 2² + 1 = 5.

Pro základní

rovnice potřebuje být používán od odešel spravit: náhrada x = hřešit (t), dx = cos (t) dt je užitečný, protože a radic; (1-hřešit²(t)) = cos (t):

Vyplývat základní moci být počítán používat integraci po částech.

Antiderivatives

Pravidlo náhrady může být používáno k určují antiderivatives. Jeden si vybere vztah mezitím x a t, určuje korespondenční vztah mezi dx a dt tím, že rozlišuje, a vykonává náhrady. An antiderivative pro funkci substituted mohou nadějně být určovány; náhrada originálu mezi x a t je pak odvolán.

Podobný našemu prvnímu příkladu nahoře, my můžeme určovat následující antiderivative s touto metodou:

Poznamenat, že to tam bylo žádné základní hranice převádět, ale v posledním kroku my jsme museli vrátit se náhrada originálu x = t² + 1.

Substituční pravidlo pro rozmanité proměnné

Jeden může také používat náhradu když integruje funkce několika proměnných. Tady funkce náhrady (x₁,...,x_n) = a phi; (t₁,...,t_n) potřeby být osobní a nepřetržitě differentiable a diferencovanosti převádějí jak

kde det (D a phi;) naznačuje determinant Jacobian matice obsahovat parciální derivace a phi;. Tato rovnice vyjadřuje skutečnost, že absolutní hodnota determinanta daných vektorů se rovná hlasitosti klenul se nad parallelepiped.

Dávat přesné sdělení a příklad multivariable náhrady; zevšeobecňování k prostorům míry