Supremum
V matematice, supremum je největší možná kvantita (podřízená stanoveným podmínkám), jestliže takový věc existuje; nebo jinak, uvnitř většího souboru kvantit, to je minimální větší výběr (jestliže takový existuje). Například, dolů různé daňové soustavy tam by mohly být ' největší ' procento daňová sazba že někdo by musel platit; a toto mohlo znamenat to někdo vlastně zaplacený v tom poměru, nebo to by mohlo odkazovat raději na vrchol míra, která omezí procento velice vysoký earner plat síly.| Tabulka s obsahem |
| 1 Supremum souboru reálných čísel 2 Supremum poset 3 srovnání s maximem 4 nejméně horní spojené vlastnosti |
Supremum souboru reálných čísel
V analýze supremum nebo nejméně horní spojený souboru S reálných čísel je označován popíjet (S) a je definován být nejmenší reálné číslo, které je větší než nebo stejný s každým číslem v S. Důležitá vlastnost reálných čísel je to každý nonempty soubor reálných čísel to je ohraničené nahoře má supremum. Toto je někdy nazýváno axiómem supremum a vyjadřuje úplnost reálných čísel. Jestliže navíc my vymezíme popíjet (S) = - a infin; když S je prázdný, a popíjet (S) = + a infin; když S je ne skákal nahoře pak každý soubor reálných čísel má supremum (viz prodloužená skutečná číselná linka).
Příklady:
- popíjet { x v R : 0
- popíjet { x v R : x2
- popíjet {(- 1)n - 1 /n : n = 1, 2, 3,...} = 1
Obecně, aby ukázal, že popíjet (S) a le; , jeden jen musí ukazovat to x a le; pro všechny x v S. Ukazovat to popíjet (S) a ge; je kousek tvrdější: pro některého a epsilon; > 0, vy musíte vystavit element x v S s x a ge; - a epsilon;.
V funkční analýze, jeden často zvažuje normu supremum ohraničené funkce f : X -> R (nebo C); to je definováno jak
- | |f| |a infin; = popíjet {|f(x) |: x a isin; X }
Vidět také: infimum nebo největší nižší spojený, limit nadřazený.
Pro podmnožiny S libovolných částečně objednávaných souborů (P, supremum nebo nejméně horní spojený S je element u v P takový to
- x u pro všechny x v S, a
- pro některého v v P takový to x v pro všechny x v S to si myslí, že u v.
V libovolném částečně objednávaném souboru, tam smět existovat podmnožiny, které nemají supremum. V mříži každý nonempty konečná podmnožina má supremum a v kompletní mříži každá podmnožina má supremum.
Rozdíl mezi supremum souboru a maximálním prvkem souboru nemůže být okamžitě zřejmý. Rozdíl je ilustrován souborem negativních reálných čísel. Tento soubor má žádný maximální element; pro každý prvek souboru, tam je jiný, větší element. Například, pro nějaké negativní reálné číslo x, tam je negativní reálné číslo x/2, který je větší. Ale, ačkoli negativní reálná čísla má žádné maximum, to dělá -- jako všechny soubory reálných čísel -- mít supremum; jmenovitě, 0.
Jestliže, na druhé straně, soubor přece obsahuje maximální element, pak tento maximální element je také supremum souboru.
Nejméně horní spojené vlastnosti
Jestliže soubor S má vlastnost tu každou nonempty podmnožinu S má horní spojený také má nejméně horní spojený, pak S je řekl, aby měl nejméně horní svázanou vlastnost. Jak známý nahoře, soubor R všech reálných čísel má nejméně horní svázanou vlastnost. Podobně, soubor Z celých čísel má nejméně horní svázanou vlastnost; jestliže S je podmnožina Z a tam je nějaké číslo n takový ten každý element s S je méně než nebo se rovnat k n, pak tam je nejméně horní spojený u pro S, celé číslo, které je horní směřovat k S a je méně než nebo se rovnat k každý jiný horní směřovat k S.
Příklad souboru, který chybí nejméně horní svázaná vlastnost je Q, soubor racionálních čísel. Nechaný S být soubor všech racionálních čísel q takový to q2 2. Pak S má horní spojený (1000, například, nebo 6) ale ne nejméně horní spojený. Pro předpokládat p je horní směřovat k S, tak p2 > 2. Pak q = (2p+ 2) / (p+ 2) je také horní směřovat k S, a q p. (vidět toto, si všimnout toho q = p - (p2 - 2) / (p + 2), a to q2 - 2 je pozitivní.)
Tam je odpovídat si ' největší nižší svázaná vlastnost '; uspořádaná sada má největší nižší svázanou vlastnost jestliže a jediný jestliže to také posseses nejméně horní svázanou vlastnost.