Surjection
V matematice, surjection je druh funkce s vlastnictvím to všechny možné výstupní hodnoty funkce vzniknout jako hodnoty funkce jako vstup k rozsahům funkce přes všechny možné vstupní hodnoty.
Více formálně, funkce f: X a rarr; Y je nazýván surjective nebo na nebo surjection jestliže pro každý y v codomain Y tam je přinejmenším jeden x v doméně X s f(x) = y. Dát další cestu, rozsah f(X) je stejný s codomain Y.
Surjective, ne injective | Injective, ne surjective |
Bijective | Ne surjective, ne injective |
Když X a Y jsou oba reálná osa R, pak funkce surjective f: R a rarr; R moci být zobrazil jako jeden jehož graf bude protínaný některý horizontální linka.
Zvažovat funkci f: R a rarr; R definovaný f(x) = 2x + 1. Tato funkce je surjective, protože daný libovolný reálné číslo y, my můžeme řešit y = 2x + 1 pro x dostat řešení x = (y a bez; 1) / 2.
Na druhé straně, funkce g: R a rarr; R definovaný g(x) = x2 je ne surjective, protože (například) není tam žádné reálné číslo x takový to x2 = -1.
Nicméně, jestliže my určíme funkci h: R a rarr; R+ stejnou rovnicí jak g, ale s codomain byl omezený k jediný nonnegative reálná čísla pak funkce h je surjective. Toto je protože, daný libovolné nonnegative reálné číslo y, my můžeme řešit y = x2 dostat řešení x = a radic;y a x = a bez; a radic;y.
- Funkce f: X a rarr; Y je surjective jestliže a jediný jestliže tam existuje funkce g: Y a rarr; X takový to f o g se rovná funkci identity na Y. (Toto sdělení je ekvivalentní k axiomu výběru.)
- Funkce je bijective jestliže a jediný jestliže to je jak surjective tak injective.
- Jestliže f o g je surjective, pak f je surjective.
- Jestliže f a g jsou oba surjective, pak f o g je surjective.
- f: X a rarr; Y je surjective jestliže a jediný jestliže, daný nějaké funkce g,h:Y a rarr; Z, kdykoli g o f = h o f, pak g = h. Jinými slovy, surjective funkce jsou přesně epimorphisms v kategorii souborů.
- Jestliže f: X a rarr; Y je surjective a B je podmnožina Y, pak f(f a bez; 1(B)) = B. Tak, B moci být dostal se z jeho preimage f a bez; 1(B).
- Každá funkce h: X a rarr; Z moci být rozložen jak h = g o f pro vhodný surjection f a injekce g. Toto rozložení je jedinečné až do izomorfismu, a f smět být myšlenka jako funkce se stejnými hodnotami jak h ale s jeho codomain omezeným na rozsah h(W) h, který je jen podmnožina codomain Z h.
- Jestliže f: X a rarr; Y je funkce surjective, pak X má přinejmenším tolik elementů jak Y, ve smyslu pro kardinální čísla. (toto sdělení je také ekvivalentní k axiomu výběru.)
Viz též: Injective funkce, Bijection