Úvodní stránka | Tato stránka v originále

Surreal číslo

surreal čísla jsou třída čísel který zahrnuje všechny reálných čísel, a další “nekonečná” čísla, která jsou větší nebo menší než nějaké reálné číslo. Oni také zahrnují “nekonečně malá” čísla, která jsou blíže k nule než nějaké reálné číslo a každé reálné číslo je obklopené surreals, které jsou blíže k tomu než nějaké reálné číslo. V tomto, surreals jsou podobné hyperreal číslům, ale jejich stavba je velmi odlišná a třída surreals je větší a obsahuje hyperreals jako podmnožina. Matematici chválili surreal čísla pro bytí jednodušší, obecnější, a více čistě postavený než obvyklejší skutečný číselný systém.

Surreal čísla byla nejprve navrhována Johnem Conwayem a později detailní Donald Knuth v jeho 1974 knize Surreal čísla: Jak dva Ex-studenti se nadchli pro čistou matematiku a našli úhrnu štěstí. Tato kniha je vlastně matematický novelette, a je pozoruhodný jako jeden z vzácných případů kde nový matematický nápad byl nejprve představovaný v práci beletrie. V jeho knize, který vezme formu dialogu, Knuth razil termín surreal čísla pro co Conway jednoduše volal čísla původně. Conway liked nové jméno, a později přijal to sám. Conway pak popisoval surreal čísla a používal je pro analyzovat hry v jeho 1976 knize Na číslech a hrách.

Tabulka s obsahem
1 utvoření Surreal čísel
2 {| - 1, 0 }
3 {| 1 }
4 { 0, 1 |}
5 {| - 1, 0}
6 {| 1}
7 {0, 1 |}
8 práce na počítači s Surreal čísly
9 tvořit Surreal čísla používat konečné přerušení
10 “do nekonečna a za”
11 her
12 Surreal čísel a combinatorial teorie her
13 další četby

Utvoření Surreal čísel

Základní myšlenka za konstrukcí surreal čísel je podobná Dedekind řezům. My utvoříme nová čísla tím, že reprezentuje je se dvěma soubory čísel, L a R, to přiblížit se novému číslu; soubor L obsahuje soubor čísel pod novým číslem a soubor R obsahuje soubor čísel nad novým číslem. My budeme psát takový přiblížení jak { L | R }. My budeme předkládat žádná omezení na L a R kromě toho každý čísel v L should být menší než nějaké číslo v R. Například, {{1, 2} | {5, 8}} je platná konstrukce určitého množství mezitím 2 a 5. (které číslo přesně a proč bude být vysvětlen pozdnější na.) soubory jsou výslovně povolené být prázdný. Neformální výklad pára { L | {}} bude být “číslo vyšší než nějaké číslo v L”, a {{} | R } “číslo nižší než nějaké číslo v R”. Toto vede k následujícímu stavebnímu pravidlu:

;Pravidlo stavby: Jestliže L a R jsou dva soubory surreal čísel a žádný člen R je méně než nebo rovný nějakému členovi L pak { L | R } je číslo surreal.

Daný surreal číslo x = { L | R } soubory L a R být nazýván levým souborem x a pravý soubor x příslušně. Vyhnout se množstvím hranatých závorek my budeme psát {{, b,...} | { x, y,...}} jednoduše jak { , b,... | x, y,...} a {{} | {}} jak { |} a {{} | {}} jak {| }.

V objednávce vytvořených čísel k vlastně se kvalifikovat jako čísla tam musí být “méně než nebo se rovnat k” vztah (tady psaný jak a le;) definovaný na nich. Toto je dodáváno chápáním pravidla:

;Pravidlo srovnání: Pro číslo surreal x = { L | R } a y = { L | R } to si myslí, že x a le; y jestliže a jediný jestliže y je méně než nebo stejný s žádným členem L\, a žádný člen R je méně než nebo se rovnat k x.

Dvě pravidla jsou rekurzivní, tak my potřebujeme nějakou formu přerušení položit je práci. Zřejmý candidiate by byl konečné přerušení, tj., tvořit všechna čísla, která mohou být postavena aplikováním stavebního pravidla konečné množství časů, ale, jak bude být vysvětlen pozdnější na, věci dostanou se opravdu zajímavý jestliže my také dovolíme přerušení transfinite, tj., uplatnit pravidlo více často než to. Jestliže my chceme vytvořená čísla reprezentovat čísla pak uspořádání to je definováno na nich should být objednávka úhrnu. Nicméně, vztah a le; vymezí jediný preorder úhrnu, tj., to není antisymmetric. Napravit toto my definujeme binární relaci = = přes vytvořená surreal čísla takový to

x = = y iff x a le; y a y a le; x.

Protože toto definuje vztah rovnocennosti uspořádání na třídách rovnocennosti znamenalo a le; bude být úplná objednávka. Výklad toto bude to jestliže x a y být ve stejné rovnocennosti prvotřídní pak oni vlastně představovat stejné číslo. Třídy rovnocennosti ke kterému x a y patřit být označován jak [x] a [y] příslušně. Tak jestliže x a y patřit ke stejné rovnocennosti prvotřídní pak [x] = [y].

Nechal nás nyní zvažovat některé příklady a vidět jak oni chovají se pod uspořádáním. Nejvíce jednoduchý příklad je samozřejmě

{|} ie: {{} | {}}

který může být postaven bez nějakého přerušení vůbec. My zavoláme na toto číslo 0 a třída rovnocennosti [0] bude být psán jak 0. Aplikováním stavebního pravidla my můžeme považovat pokračování za tři čísla

{ 0 |}, {| 0 } a { 0 | 0 }

Poslední číslo je nicméně ne platné surreal číslo protože 0 a le; 0. Jestliže my teď zvažujeme uspořádání platných surreal čísel my budeme vidět to

{| 0 } 0 0 |}

kde x y ukazuje to ne(y a le; x). My budeme odkazovat se na {| 0 } a { 0 |} jak - 1 a 1 příslušně, a korespondenční rovnocennost řadí jak jednoduše - 1 a 1, příslušně. Protože každá třída rovnocennosti obsahuje jen jeden element my můžeme nahradit v prohlášeních o uspořádání surreal čísel s jejich třídami rovnocennosti bez rizika dvojznačnosti. Například, sdělení nahoře mohlo také byli psáni jak:

{ | 0 }

nebo dokonce

-1

Jestliže my použijeme stavební pravidlo, jakmile více my dostaneme následující uspořádanou sadu:

{| - 1 }

{| - 1, 0 }

{| - 1, 1 } = = {| - 1, 0, 1 }
{| 0, 1 } = = - 1
{ - 1 | 0 } = = { - 1 | 0, 1 }
{ - 1 |}

{| 1 }

{ - 1 | 1 } = = 0
{ 0 | 1 } = = { - 1, 0 | 1 }
{ - 1, 0 |} = = 1
{ 1 |}

{ 0, 1 |}

{ - 1, 1 |} = = { - 1, 0, 1 |}

My můžeme nyní udělat tři poznámky:
  1. My jsme objevili čtyři nová rovnocennost řadí, viz., [{ | - 1 }], [{ - 1 | 0 }], [{ 0 | 1 }] a [{ 1 | }].
  2. Všechny třídy rovnocennosti nyní obsahují víc než jeden element.
  3. Třída rovnocennosti čísla závisí jen na maximal prvek jeho levého souboru a minimálního prvku pravého souboru.

První pozorování zvýší otázku výkladu tito nová rovnocennost řadí. Od neformálního výkladu {| - 1 } je “číslo jen dříve - 1” my budeme nazývat to číslem - 2 a naznačovat jeho třídu rovnocennosti jak - 2. Z podobném důvodu my budeme volat { 1 |} číslo 2 a jeho třída rovnocennosti 2. Číslo { - 1 | 0 } je číslo mezitím - 1 a 0 a my budeme volat to - 1/2 a jeho třída rovnocennosti - 1/2. Nakonec my budeme volat { 0 | 1 } číslo 1/2 a jeho třída rovnocennosti 1/2. Více ospravedlnění pro tyto jména bude dané, jakmile my jsme definovali sčítání a násobení.

Druhé pozorování vyvolává otázku jestliže my můžeme ještě nahradit surreal čísla s jejich třídami rovnocennosti. Naštěstí odpověď je ano protože to může být ukazováno to

jestliže [L] = [L] a [R] = [R] pak [{ L | R }] = [{ L | R }]

kde [X] označí {[x] | x v X }. Tak druh uspořádané sady, která se nalézala nahoře může být přepsán k:

{ | -1 }

{ | -1, 0 }

{ | -1, 1 } == { | -1, 0, 1 }
{ |0, 1 } == -1
{ -1 | 0 } == { -1| 0, 1 }
{ -1 | }

{ | 1 }

{ -1 | 1 } == 0
{ 0 | 1 } == { -1, 0 | 1 }
{ -1, 0 | } == 1
{ 1 | }

{ 0, 1 | }

{ -1, 1 | } == { -1, 0, 1 | }

který v otáčecí plechovce být přepsán jak

-2

Třetí pozorování se rozšíří do všech čísel surreal s konečný levé a pravé soubory. Pro nekonečný levý nebo pravý soubor, toto je platné v pozměněné formě od té doby, co nekonečné množiny nemohou obsahovat maximal element. Číslo {{1, 2} | {5, 8}} proto je ekvivalent k {2 | 5}, který bude přesně vypočítaný později.

Práce na počítači s Surreal čísly

Sčítání a rozmnožování surreal čísel jsou definováni chápáním tří pravidel:

;Sčítání: x + y = { L + y a pohár; x + L | R + y a pohár; x + R }

kde X + y = { x + y | x v X } a x + Y = { x + y | y v Y }.

;Negace: -x = {-R | -L }

kde -X = {-x | x v X }

;Násobení: xy = {(Ly + L - LYL) a pohár; (Ry + R - RYR) | (Ly + R - LYR) a pohár; (Ry + L - RYL) }

kde XY = { xy | x v X a y v Y }, Xy = X{y} a xY = {x}Y.

Tyto operace mohou být ukazovány být přesně stanovený pro čísla surreal, tj., jestliže oni jsou aplikováni na přesně stanovené surreal čísla pak výsledek budou znovu být přesně stanovené surreal číslo, tj., levý soubor výsledku bude “menší” než pravý soubor.

S těmito pravidly my můžeme nyní ověřit, že zvolená jména čísel, které my jsme našli doposud jsou vhodná. To drží například to 0 + 0 = 0, 1 + 1 = 2, - (1) = - 1 a 1/2 + 1/2 = = 1. (si všimnout použití rovnosti = a rovnocennost = =!)

Operace jak definovaný nahoře být definovaný pro čísla surreal ale my bychom rádi zevšeobecnili je pro třídy rovnocennosti, které my jsme definovali na nich. Toto může být děláno bez dvojznačnosti, protože to myslí si to

jestliže [x] = [x ' ] a [y] = [y ' ] pak [x + y] = [x ' + y ' ] a [-x] = [-x ' ] a [xy] = [x'y ' ]

Nakonec to může být ukazováno že celkové operace na třídách rovnocennosti mají požadované algebraické vlastnosti, tj., třídy rovnocennosti plus jejich uspořádání a algebraické operace představují spořádané pole, s námitkou, že oni netvoří soubor ale správný prvotřídní, vidět dolů. Ve skutečnosti, to je velmi zvláštní objednávané pole: ten největší. Každé jiné spořádané pole může být zasazené v surreals. (vidět také definice racionálních čísel a reálných čísel.)

Od nynějška na my nerozlišujeme surreal číslo od jeho třídy rovnocennosti a hovor třída rovnocennosti sám surreal číslo.

Tvořit Surreal čísla používat konečné přerušení

Do nynějška my jsme opravdu se nedívali na jaká čísla my můžeme a můžeme ne vytvořit tím, že použije stavební pravidlo. My budeme nejprve začínat předpokladem, že my jen tvoříme ty čísla, která mohou být vytvořena aplikováním pravidla konečné množství časů. My děláme toto inductively definovat n s n přirozené číslo takto:

Soubor všech surreal čísla, která jsou vytvořena v některých i je označován jak Sa omega;. První soubory tříd rovnocennosti, které my odkážeme shledají být takto:

0 = { 0 }
1 = { -1
2 = { -2
3 = { -3
4 = ...

Toto vede k následujícím pozorováním:
  1. V každém kroku maximum (minimum) je zvětšeno (se snížil) 1.
  2. V každém kroku my najdeme čísla, která jsou uprostřed dvou pořadových čísel od předchozího kroku.

Jako důsledek všechna vytvořená čísla jsou dvojčlenné zlomky, tj., moci být psán jako nedělitelný zlomek
/ 2b
kde a b být celá čísla a b a ge; 0. Toto znamená to zlomky takový jak 1/3, 2/3, 4/3, 1/5, 5/3, 1/6 cetera et, nevznikne. Poznamenat, že my můžeme tvořit čísla, která jsou libovolně blízká jim ale čísla sám jsou nikdy tvořeni.

“Do nekonečna a za”

Příští krok sestává z brát Sa omega; a pokračovat aplikovat stavební pravidlo k tomu a tak budovat Sa omega; + 1, Sa omega; + 2 et cetera. Poznamenejte, že levé soubory a pravé soubory mohou nyní stát se nekoneční.

Ve skutečnosti, my můžeme definovat soubor S pro nějakou řadovou číslovku přerušením transfinite. První čas dané surreal číslo se objeví v tomto proces je nazýván jeho narozeninami. Každé číslo surreal má řadovou číslovku jako jeho narozeniny. Například, narozeniny 0 je 0, a narozeniny 1/2 je 2.

Už v Sa omega; + 1 my najdeme zlomky, které byly chybějící v Sa omega;. Například, zlomek 1/3 moci být definován jak

1/3 = {{ / 2b v Sa omega; | 3 b } | { / 2b v Sa omega; | 3 > 2b } }.
Správnost této definice vyplývá ze skutečnosti, že
3(1 / 3) = = 1.
Narozeniny 1/3 je a omega; + 1.

Ne jen dělat celý zbytek racionálních čísel objevit se v Sa omega; + 1; zůstávat konečný reálná čísla dělají také. Například

a pi; = {0, 1, 2, 3, 25/8, 201/64, ... | 4, 7/2, 13/4, 51/16, 101/32, ...}.

Další číslo, které je už budováno v Sa omega; + 1 je
a epsilon; = {0 |..., 1/16, 1/8, 1/4, 1/2, 1}.
To jde snadno vidět, že toto číslo je větší než nula ale méně než všechny pozitivní zlomky, a proto nekonečně malé číslo. Jméno pro jeho třídu rovnocennosti je proto a epsilon;. To není jediný pozitivní infintesimal, protože to drží například to
2 a epsilon; = {a epsilon; |..., a epsilon; + 1/16, a epsilon; + 1/8, a epsilon; + 1/4, a epsilon; + 1/2, a epsilon; + 1} a
a epsilon; / 2 = {0 | a epsilon;}.
Poznamenat, že tato čísla nejsou přesto vytvořená v Sa omega; + 1.

Vedle mizivě malých čísel také nekonečně velké počty jsou tvořeny takový jak

a omega; = { Sa omega; | }.
Jeho hodnota je jasně větší než nějaké číslo v Sa omega; a jeho třída rovnocennosti je proto nazvaná a omega;. Toto číslo je rovnocenné s řadovou číslovkou se stejným jménem. My také máme rovnost
a omega; = [{ 1, 2, 3, 4,... | }]

Ve skutečnosti, všechny řadové číslovky mohou být vyjádřeny jako surreal čísla. Od sčítání a odčítání je definováno pro všechna čísla surreal my mohou použití a omega; jako nějaké jiné číslo a přehlídka například to
a omega; + 1 = {a omega; |} a
a omega; - 1 = { Sa omega; | a omega;}.
My můžeme také dělat toto pro větší čísla
a omega; + 2 = {a omega; + 1 |},
a omega; + 3 = {a omega; + 2 |},
a omega; - 2 = { Sa omega; | a omega; - 1} a
a omega; - 3 = { Sa omega; | a omega; - 2}
a dokonce a omega; sám
a omega; + a omega; = {a omega; + Sa omega; | }
kde x + Y = { x + y | y v Y }. Jen jak 2 a omega; je větší než a omega; to může také být ukazováno to a omega; / 2 je menší než a omega; protože
a omega; / 2 = { Sa omega; | a omega; - Sa omega; }
kde x - Y = { x - y | y v Y }. Konečně, to může být ukazováno že tam je blízký vztah mezitím a omega; a a epsilon; protože to myslí si to
1 / a epsilon; = a omega;

Poznamenejte, že přidání ordinals se liší od přidání jejich reprezentací surreal. Součet 1 + a omega; se rovná a omega; jako ordinals, ale jako surreals 1 + a omega; = a omega; + 1 > a omega;.

Od každého surreal číslo je postaveno z čísel surreal “starší” než sám, my můžeme ukázat se jako mnoho teorémů o surreals používat přerušení transfinite: My ukážeme, že teorém drží pro 0, a pak ukázat, že to drží pro x = { L | R } jestliže to drží pro všechny elementy L a R.

Množství čísel mohou být tvořil tuto cestu; ve skutečnosti tak mnoho že žádný soubor může držet je jako všechny. Surreal čísla, jako řadové číslovky, forma správný prvotřídní.

Hry

Definice surreal čísel obsahovala jedno omezení: každý prvek L muset být přísně méně než každý prvek R. jestliže toto omezení je vynecháno my můžeme tvořit více obecnou třídu známou jako hry. Všechny hry jsou postaveny shodovat se k tomuto pravidlu:

;Pravidlo stavby: Jestliže L a R jsou dva soubory her pak { L | R } je hra.

Sčítání, negace, násobení a srovnání jsou všichni definovaní stejný cesta pro jak surreal čísla tak hry.

Každé číslo surreal je hra, ale ne všechny hry jsou čísla surreal, např. hra { 0 | 0 } je ne surreal číslo. Třída her je obecnější než surreals, a má jednodušší definice, ale postrádá některé ty hezčí vlastnosti surreal čísel. Třída surreal čísel tvoří pole, ale třída her dělá ne. Surreals mají objednávku úhrnu: daný nějaké dva surreals, oni jsou jeden se rovnat, nebo jeden je větší než jiný. Hry mají jen částečná objednávka: tam existovat páry her, které jsou žádný se rovnat, větší než, ani méně než každý jiný. Každé číslo surreal je jeden pozitivní, negativní, nebo nula. Každá hra je jeden pozitivní, negativní, nula, nebo chmýřovitý (nesrovnatelný s nulou, takový jak {1 | - 1 }).

Pohyb ve hře zahrnuje hráče jehož pohyb to vybere hru z těch dostupný v L (pro levého hráče) nebo R (pro pravého hráče) a pak procházet kolem této volené hry k jinému hráči. Hráč kdo nemůže pohybovat se, protože výběr je od prázdné množiny prohrál. Pozitivní hra reprezentuje vyhrát pro levého hráče, negativní hru pro pravého hráče, nulovou hru pro druhého hráče k pohybu a chmýřovitou hru pro prvního hráče k pohybu.

Jestliže x, y, a z surreals, a x=y, pak x z=y z. Nicméně, jestliže x, y, a z jsou hry, a x=y, pak to není vždy pravdivé to x z=y z. Si všimnout toho “=” tady znamená rovnost, ne identita.

Surreal čísla a combinatorial teorie her

Surreal čísla byla původně motivovaná studia hry Jdoua tam jsou četná spojení mezi populárními hrami a surreals. V této sekci, my odkážeme použití kapitalizoval Hru pro matematický objekt {L | R}, a malé písmo hra pro rekreační hry jako Chess nebo jít.

My zvažujeme hry s těmito vlastnostmi:

Pro většinu her, počáteční tabulová pozice dá žádnou velkou výhodu k jednomu hráči. Jak hra postupuje a jeden hráč začne vyhrát, pozice tabule nastanou kde ten hráč má jasnou převahu. Pro analyzovat hry, to je užitečné asociovat hru s každou pozicí tabule. Hodnota dané pozice bude hra {L | R}, kde L je soubor hodnot všech pozic, které mohou být podávány v jediném pohybu odešel. Podobně, R je soubor hodnot všech pozic, které mohou být podávány v jediném pohybu právem. Tento jednoduchý způsob, jak asociovat hry s hrami přinese velmi zajímavý výsledek. Předpokládat dva dokonalé hráče hrát hru začínat danou pozicí jehož sdružená hra je x. Vítěz hry je určován:Někdy když hra se blíží ke konci, to se rozloží do několika menších her, které se neovlivňují. Například, v jít, tabule bude pomalu plnit se s kusy until tam být právě nemnoho malých ostrovů prázdné mezery kde hráč může pohybovat se. Každý ostrov je jako oddělená hra jít, hrál na velmi malou tabuli. To by bylo užitečné jestliže každý subgame mohl být analyzován odděleně, a pak výsledky se spojily dávat analýzu celé hry. Toto nevypadá, že jde snadno dělat. Například, vy byste mohli mít dva subgames kde whoever se pohybuje nejprve vyhraje, ale když oni jsou spojeni do jednoho velkého utkání, to je už ne první hráč, který vyhraje. Naštěstí, tam je způsob, jak udělat tento rozbor. Jen používat následující významný teorém:

Jestliže velké utkání se rozloží do dvou menších her a malé hry mají sdružená utkání x a y, pak velké utkání bude mít sdružené utkání x+y.

Jinými slovy, slepit několik non-se ovlivňovat hry je ekvivalent k jednoduše sčítat jejich hry!

Historicky, Conway vyvinul teorii čísel surreal v obráceném pořadí jak to bylo představované tady. On analyzoval jít endgames, a si uvědomil, že to by bylo užitečné mít nějaký způsob, jak spojit analýzy non-se ovlivňovat subgames. Od tohoto on vynalezl představu o hře a operátora sčítání pro to. Odtamtud on se přesunul k vyvíjení definice negace a srovnání. Pak on poznamenal, že jistá třída her měla zajímavé vlastnosti; tato třída se stala surreal čísly. Konečně, on vyvinul operátora násobení, a dokázal, že surreals jsou vlastně pole, a že to zahrnuje jak reals tak ordinals. To je úžasné, že celá tato dostal se ze studia jít!

Další četba