Taylor série

V matematice, Taylor série nekonečně často differentiable skutečný (nebo komplex) fungovat f definovaný na otevřené pauze (-r, +r) je mocninová řada

Tady, n! je faktoriál n a f ⁽ⁿ⁾() označí nth derivát f na místě .

Jestliže tato série se sblíží pro každý x v pauze (-r, +r) a součet je se rovnat k f(x), pak funkce f(x) je volán analytický. Ke kontrole zda série míří k f(x), jeden normálně používá odhady zbytku Taylorova teoréma. Funkce je analytická jestliže a jediný jestliže to může být reprezentováno jako mocninová řada; koeficienty v té mocninové řadě jsou pak nutně ones daný v nad Taylor sériovou rovnicí.

Jestliže = 0, série je také nazývána Maclaurin sérií.

Důležitost takový reprezentace mocninové řady je trojnásobná. Nejprve, rozdílnost a začleněnní mocninové řady mohou být vykonával člen po členu a je od této doby zvláště snadný. Sekunda, analytická funkce může být jedinečně prodloužená k funkce holomorphic vymezila na terčové návěsti v komplexním letadle, který dělá celého stroje komplexního rozboru dostupný. Třetina, (zkrácené) série mohou být používány spočítat funkční hodnoty přibližně.

Poznamenat, že tam jsou příklady nekonečně často differentiable funguje f(x) jehož Taylor série soustředí se ale jsou ne se rovnat k f(x). Například, pro funkci definoval piecewise tím, že říká, že f(x) = exp (a bez; 1 /x?) jestliže x a ne; 0 a f(0) = 0, všechny deriváty jsou nulové u x = 0, tak Taylor série f(x) je nulový, a jeho okruh sbližování je nekonečný, ačkoli funkce nejvíce rozhodně je ne nula. Obzvláště tato patologie nepostihne komplex- cenil funkce komplexní proměnné. Si všimnout toho exp (a bez; 1 /z?) se nepřiblíží 0 jak z přístupy 0 podél imaginární osy.

Některé funkce nemohou být psány jako série Taylora, protože oni mají výstřednost; v těchto případech, jeden může často ještě dosáhnout sériové rozpětí jestliže jeden dovolí také negativní síly proměnné x; vidět Laurent série. Například, f(x) = exp (a bez; 1 /x?) moci být psán jako Laurent série.

Parker-Sockacki teorém je nedávný pokrok v nálezu Taylor série, které jsou řešení diferenciálních rovnic. Tento teorém je expanze na Picard iteraci.

Seznam Taylor série

Několik důležitých Taylor sériových expanzí následuje. Všechny tyto expanze jsou také platné pro komplexní argumenty x.

Exponenciální funkce a přirozený logaritmus:

Geometrická řada:

Binomická poučka:

Goniometrické funkce:

Hyperbolické funkce:

Lambert je W fungovat:

Čísla B_k objevit se v expanzích opalovat se (x) a tanh (x) být Bernoulli čísla. C (a alpha;,n) v binomickém rozvoji být koeficienty dvojčlena. E_k v expanzi sec (x) být Euler čísla.

Rozmanité rozměry

Taylor série může být celková k funkcím víc než jedné proměnné s