Obkládat

V geometrii, obkládat (také volal tesselation, mozaika nebo pitva) daného tvaru S sestává ze sbírky jiných tvarů, které přesně pojistí S. často tvar S být dlážděn je Euclidean letadloale jiné tvary a trojrozměrné objekty jsou zvažovány také. Jeden obvykle přidá některé požadavky na tvarech krytiny, například to oni všichni jsou shodní, nebo to oni všichni jsou čtverce vzájemně různé velikosti, etc.

Matematicky, obkládat prostoru topological S sestává ze sbírky B otevřených podmnožin S, takový to

• tvary v B se nepřekrývají (tj., být vzájemně disjoint, mít žádný styčný bod)
• oni ' kryt ' S ( uzavření jejich odboru je se rovnat k S)

Většina témat v oblasti tilings, vzorech a problémech balení je nejlépe známé od příkladů v dvojrozměrný Euclidean prostor, Euclidean letadlo. Nicméně, mnoho z těchto problémy mohou být a byli aplikováni na jiné prostory topological, obzvláště v oblasti problémů balení.

To bylo známé na nějakou dobu to všechny jednoduché pravidelné tilings v letadle všichni patří k jednomu z 17 letadlových symetrických skupin. Všech sedmnáct těchto vzorů být známý existovat v Alhambra paláci v Granada, Španělsko.

Toto nevyčerpá zřejmě jednoduchý problém dláždit letadlo: přidávat další omezení nebo odstraňovat požadavek pro pravidelnost odhalit velké množství zajímavých problémů, někteří který být vypsán tady.

Témata jsou organizována abecedně.

Tabulka s obsahem

1 střídající tilings 1.1 střídat tilings typu (n, m) 2 barevné tilings 3 Faultfree tilings 4 Irreptiles 5 N-tesselations 6 čistého tilings 7 nikde-čisté tilings 8 Penrose tilings 9 polygonů 10 Polysquares 11 čistého tilings 12 Puritiles 13 obdélníků 13.2 Non-shodné obdélníky 14 pravidelného tilings 15 plazů 16 jednoduchého tilings 17 Sim-tilings 18 čtverců 18.3 základní čtverce 19 symetrií 20 Tetrads 21 trojúhelníků 21.4 základní trojúhelníky 21.5 Pythagorean trojúhelníky 21.6 rovnostranné trojúhelníky 21.7 jiné trojúhelníky 22 odkazů

Střídající tilings

Obkládat {T} tvaru S je nazýván střídáním jestliže {T} je odbor dva disjoint soubory {T1} a {T2} dlaždic takový to

• nějaká dlaždice T přilehlý k dlaždici T1 v {T1} je v {T2} a, versa zlozvyku,
• nějaká dlaždice T přilehlý k dlaždici T2 v {T2} je v {T1}.

Příklad: Jestliže my chceme dláždit letadlo se čtverci a domina v cestě střídání, pak my musíme najít cestě to

• letadlo je úplně kryté bez mezer nebo překrývání (jinak to není obkládat vůbec) a takový to
• žádné dva čtverce mají stranu nebo část strany v obyčejný (ale mít styčný bod je dovolen) a takový to
• žádná dvě domina mají stranu nebo část strany v obyčejný (ale mít styčný bod je dovolen)^1,2.

Střídat tilings typu (n, m)

Nechaný {T} být střídání obkládat (vidět nahoře) Euclidean letadla vyrobený ze souborů {T1} a {T2}, a nechaný n a m být dvě přirozená čísla, n střídání typu (n, m), jestliže {T1} být n-gons (polygony s n strany) a {T2} být m-gons.

Několik velmi zajímavé otázky vyvstává pro tilings letadla:

• Pro kterého n a m dělat střídající tilings typu (n, m) existovat?
• Pro kterého n a m dělat střídající tilings typu (n, m) existovat s dalším vlastnictvím to všechny dlaždice v {T1} být shodný a všechny dlaždice v {T2} být shodný?
• Obecně, daný n a m, kolik prototiles dělají {T1} a {T2} potřeba v rozkazu, že takový střídání obkládat typu (n, m) existuje?

Výsledky nejsou jen matematicky zajímavé; mnoho z výsledných vzorů být docela úžasný.¹

Barevné tilings

Obkládat je volán barevný jestliže každá taška má vlastnost barva sdružila se s tím takový že žádné dvě přilehlé tašky mají stejnou barvu. Barevné tilings jsou také nazývány barevnými mapami. Jestliže jeden může objevit takový schéma zbarvení, my říkáme, že my jsme zčervenali obkládat.

Příklady:

• Nejslavnější problém vztahovat se k barevnému člověku tilings byl čtyři obarvit problém, který byl řešený; vidět Čtyři obarvit teorém. Problém se zeptá zda jeden může obarvit nějakou mapu v letadlovém použití čtyř barev jen.
• Další bohatý zdroj pro zajímavé problémy příbuzné barevnému tilings je oblast střídajících tilings, vidět definici na této stránce.

Faultfree tilings

Obkládat T = {} tvaru S je nazýván faultfree jestliže není tam žádná zlomová linie v tomto obkládat.
zlomová linie nebo linie závalu obkládat je přímá linka od jednoho bodu hranice S k dalšímu bodu hranice S takový že linka má žádný styčný bod s vnitřkem nějaké dlaždice obkládat.

Příklady:

• (2n + 1) x (3n) obdélník je nejmenší obdélník, který přiměje faultfree obkládat s (1xn) obdélníky⁸.
• (2nm + m) x (3nm) obdélník je nejmenší známý obdélník, který přiměje faultfree obkládat s (nxm) obdélníky⁸.

Irreptiles

irreptile (pocházel z ' nepravidelný plaz ', definice plaza vidět dolů) je tvar s vlastnictvím, které dláždí větší verzi sebe, používání rozdílně tříděné nebo totožné kopie sebe³. Jednoduchý příklad je čtverec, protože čtyři kopie toho dláždí větší čtverec. Každý trojúhelník také je irreptile, protože čtyři kopie toho dláždí větší verzi tohoto trojúhelníku.

Problém nacházet všechny irreptiles v Euclidean letadle byl studoval v ³, ale nebyl kompletně řešen přesto.

Příbuzný soubor problémů má rozhodnout pro každého irreptile minimální počet menších kopií takový že oni dláždí originální podobu. V mnoha případech to je docela obtížné k vlastně ukázat se takový minimality.

N-tesselations

Tesselation je další slovo pro obkládat. Obkládat tvaru je volán N-tesselation jestliže každá taška má základní oblast a jestliže pro každé přirozené číslo n tam je přesně jedna taška s oblastí n¹.

Samozřejmě, jediné tvary s neomezenou oblastí mohou mít N-tessellation.

Tam být mnoho N-tesselations letadla². My můžeme postavit N-tesselations letadla, polovina-letadlo a kvadrant používat jediné trojúhelníky². Také, tam být N-tesselations letadla, polovina-letadlo a kvadrant používat jediné obdélníky².

Vyrovnejte se těmito omezeními, tam je mnoho řešení. Například:

• tam být nikde-čistý N-tesselations (vidět definici nikde-čistý obkládat na této stránce) letadla, letadlo poloviny a kvadrant používat jediné obdélníky².
• tam být N-tesselations letadla, letadlo poloviny a kvadrant používat jediné obdélníky typu 1 × n, tj., jedna jednotka široký ².

Čisté tilings

Obkládat {T} tvaru S je volán čistý jestliže

• každá taška T je polygon a
• přilehlé dlaždice jen rozdělí plné strany, tj. žádná dlaždice rozdělí částečnou stranu s nějakou jinou dlaždicí.

Příklad: 64 čtverců na šachovnici reprezentuje čistý obkládat^1,2.

Nikde-čisté tilings

Obkládat {T} tvaru S je volán nikde-čistý jestliže

• každá taška T je polygon a
• přilehlé dlaždice nikdy rozdělí plnou stranu, tj. nějaká dlaždice jen rozdělí částečnou stranu s nějakou jinou dlaždicí^1,2.

Příklady:

• Mininum množství dlaždic nutných dláždit trojúhelník s trojúhelníky v nikde-čistá cesta je čtyři².
• Mininum množství dlaždic nutných dláždit trojúhelník s čtyřúhelníky v nikde-čistá cesta je šest².
• Mininum množství dlaždic nutných pro dlaždici pětiúhelníky s čtyřúhelníky v nikde-čistá cesta je dvanáct².
• Mininum množství dlaždic nutných dláždit obdélník se čtverci v nikde-čistá cesta je devět².
• Mininum množství dlaždic nutných dláždit čtverec s obdélníky v nikde-čistá cesta je pět².
• Mininum množství dlaždic nutných dláždit čtverec s menšími čtverci v nikde-čistá cesta je dvacet².
• Mininum množství dlaždic nutných dláždit čtverec s pětiúhelníky v nikde-čistá cesta je dvanáct².
• To jde snadno dláždit letadlo s dominy v nikde-čistá cesta.
• Tam být nikde-čistý N-tesselations (vidět definici N-tessellation na této stránce) letadla, letadlo poloviny a kvadrant používat jediné obdélníky².
• Tam být nikde-čisté tilings letadla, letadlo poloviny a kvadrant používat jediné čtverce různé, základní velikosti².

Penrose tilings

Roger Penrose je známý pro jeho 1974 vynález Penrose tilings, který být tvořen od dvou tašek, které mohou jen dláždit aperiodically letadla. V roce 1984, podobné vzory byly nalezené v uspořádání atomů v quasicrystals.

Vidět Penrose obkládat pro detailní popis a obrazy.

Polygony

Tilings používání polygony byly studoval na mnoho století. To bylo známé na nějakou dobu to všechny jednoduché pravidelné tilings v letadle všichni patří k jednomu z 17 letadlových symetrických skupin. Všech sedmnáct těchto vzorů být známý existovat v Alhambra paláci v Granada, Španělsko.

Umělec M. C. Escher používal tyto symetrie značně v jeho frieses a woodcuts. On často modifikoval polygony v jeho tilings mírně změnit je na tvary etc zvířat. Někteří jeho tilings mají zajímat morfovací vlastnictví; např., friese může začínat jako obkládající používání rybařit ve tvarech a pomalu se měnit na obkládající používání tvary ptáka jako vy jdou od levého vrcholu správně.

Polysquares

polysquare je tvar to sestávat z okraje-k-spojení okraje čtverců stejné velikosti^3,5,6. Polysquares je také nazvaný ' polyominoes je.
Jeden čtverec je také nazýván monomino.
Dva čtverce se spojily dělat domino.
Tři čtverce se spojily dělat tromino.
Čtyři čtverce se spojily dělat tetromino.
Pět čtverců se spojilo dělat pentomino.
Šest čtverců se spojilo dělat hexomino.
Sedm čtverců se spojilo dělat septomino nebo heptomino.
Osm čtverců se spojilo dělat octomino.
Devět čtverců se spojilo dělat enneomino.
Deset čtverců se spojilo dělat decomino.

Čisté tilings

Obkládat T tvaru S je volán čistý jestliže T obsahuje jediný prototile, tj., jestliže každá taška je shodná k nějaké jiné dlaždici².

An se střídat obkládat (viz definice na této stránce) T sestávat ze dvou souborů dlaždic {} a {B} je nazýván čistým střídáním jestliže soubory {} a {B} každý obsahovat jen jeden prototile². To je zajímající problém zjistit pro která čísla n, m (nse střídat obkládat typu (n, m) na této stránce)¹.

Příklady:

• 64 čtverců na šachovnici reprezentuje čistý obkládat¹.
• Nějaký plaz (viz definice na této stránce) dláždí větší verzi sebe v čisté cestě.

Puritiles

puritile (pocházel z ' čistě nepravidelný plaz ') je tvar s vlastnictvím to aby dláždil větší verzi sebe, rozdílně tříděné kopie musí být používán³.

An příklad puritile je L-formoval hexomino, který má 1 × 3 obdélník spojil se k jinému 1 × 3 obdélník. 18 kopií dvou různých velikostí je nutné (jmenovitě 12 stejné velikosti a 6 dvakrát velikost) dláždit větší verzi toho. Si všimnout toho 12 × 1 + 6 × 4 = 36 = 6 × 6, od této doby větší verze je šest času větší než originál. Můžete objevit obkládat?

Obdélníky

Non-shodné obdélníky

Nejmenší čtverec, který může být narazen (m x n) obdélníky, takový to všichni m a n jsou různá celá čísla, je 11 x 11 čtverce, a obkládající použití pět obdélníků⁷.
Nejmenší obdélník, který může být narazen (m x n) obdélníky, takový to všichni m a n jsou různá celá čísla, je 9 x 13 obdélníku, a obkládající použití pět obdélníků⁷.

Pravidelné tilings

..... (být vyplněn)....

Plazi

plaz (nebo obchodní cestující-dlaždice, od ' opakovaný obkládat ') je tvar s vlastnictvím, které je dlaždice větší verze sebe, používat totožné kopie sebe^2,3,5. Jednoduchý příklad je čtverec, protože čtyři kopie toho dláždí větší čtverec.

Každý trojúhelník také je plaz, protože čtyři kopie toho dláždí větší verzi tohoto trojúhelníku.

Soubor plazů je podmnožina souboru irreptiles.

Jednoduché tilings

..... (být vyplněn)....

Sim-tilings

Obkládat je volán sim-obkládat jestliže všichni jeho dlaždice jsou podobné ke každému jiný.

Příklady:

• irreptiles (vidí definici na této stránce) jsou ty tvary, které dláždí větší verzi sebe se sim-obkládat.
• Pro nemnoho více příkladů, vidět náhradníka-sekce jiné trojúhelníky v průřezu trojúhelníky na této stránce.

Čtverce

Základní čtverce

Čtverec se základními sidelength je nazýván základním čtvercem. Jestliže základní čtverce S byl dlážděn s menšími základními čtverci, my voláme toto”srovnat čtverec”.

Různé podmínky mohou být žádány plodit matematické problémy. Jeden nejvíce vyšetřoval je “zdokonalit čtvercový čtverec, vidět dolů. Ostatní podmínky, které přinesou zajímavé výsledky jsou “nikde-čistý” (vidět souvislost) a “ne-dotek” čtvercové čtverce (vidí dole definice).

Jestliže menší čtverce všichni mají různé velikosti, my nazýváme to “dokonalým čtvercovým čtvercem”. Toto je voláno srovnat problém čtverce. To je nejprve zaznamenané, zatímco bytí studovalo R. L. Brooks, C. A. B. Smith, A. H. Stone, a W. T. Tutte, u Cambridgea univerzita a první dokonalý čtvercový čtverec byli nalezení Rolandem Spragueem v 1939.

Jestliže my bereme takový obkládat a zvětšit to tak to dříve nejmenší dlaždice teď má velikost čtverce S my jsme vyrazili z, pak my vidíme, že my trváme od tohoto obkládat letadla se základními čtverci, každé vlastnění různé velikosti.

To je ještě nevyřešený problém, nicméně, zda letadlo může být dlážděno se souborem základních tašek takový že každé přirozené číslo je používáno přesně jednou jako velikost tašky čtverce.

Symetrie

Vidět sekci titulovaný polygony na této stránce.
Viz též: Symetrie

Tetrads

tetrad je (jednoduše souvislý) tvar s vlastnictvím že čtyři kopie tohoto tetrad mohou být umístěny bez překrývání v takový cesta že každý výtisk sdílí nějakou hranici s každým jiné tři tetrads⁶.

Tetrads je vzácná zvířata. Někteří polysquare plazi jsou tetrads³.

Trojúhelníky

Základní trojúhelníky

Trojúhelník se třemi základními sidelengths je nazýván základním trojúhelníkem. Tam jsou čtverce, které mohou být dlážděny se základními trojúhelníky takový to ne dva těchto trojúhelníků být shodný². Letadlo může být dlážděno se základními trojúhelníky takový to ne dva těchto trojúhelníků být shodný².

Pythagorean trojúhelníky

Pravoúhlý trojúhelník se třemi základními sidelengths je nazýván Pythagorean trojúhelníkem.

Tam jsou čtverce, které mohou být dlážděny s Pythagorean trojúhelníky takový to ne dva těchto trojúhelníků být shodný².

Letadlo může být dlážděno s Pythagorean trojúhelníky takový to ne dva těchto trojúhelníků být shodný².

Rovnostranné trojúhelníky

Matematik William Tutte ukázal, že jeden nemůže obkládat rovnostranný trojúhelník s konečným množstvím menších pravidelných trojúhelníků, všichni různé velikosti.

Na podobných linkách, to může být ukazováno že jeden nemůže dláždit letadlo s pravidelnými trojúhelníky, všichni různé velikosti, jestliže jeden z nich má nejmenší velikost⁴.

Jiné trojúhelníky

Nicméně, to je možné dláždit letadlo s zvětšeními jednoho jediného trojúhelníku, všichni vzájemně různé velikosti².
Isosceles pravoúhlý trojúhelník (úhly 45, 45, 90 mír) vyřeší tento problém².
Napůl pravidelný trojúhelník (úhly 30, 60, 90 mír) také vyřeší tento problém².
Zvětšení mohou být vybrána být všechna celá čísla². Ale tam být také řešení kde tato zvětšení nejsou všechna celá čísla².

Čtverec může být dlážděn s osm 30-60-90 trojúhelníky vzájemně různých velikostí.

Literatura:

1. Karl Scherer: Nové mozaiky, 1997 (vidět http://karl.kiwi.gen.nz)
2. Karl Scherer: Nutts a jiné sušenky, 1994 (vidět http://karl.kiwi.gen.nz)
3. Karl Scherer: Záhadná cesta do plazů a příbuzných zvířat, 1986 (vidět http://karl.kiwi.gen.nz) (psaný jako fiktivní příběh, toto je jediná kniha, která vyšetřuje do oblasti puritiles.)
4. Karl Scherer: Nemožnost tessellation letadla do rovnostranných trojúhelníků jehož sidelengths jsou vzájemně různé, jeden z nich být minimální. (článek v žurnálu Elemente der Mathematik, 1984)
5. Solomon Golomb: Polyominoes, 1994
6. Žurnál rekreační matematiky, mnoho článků.
7. Žurnál rekreační matematiky, 28: 1, p.64.
8. Žurnál rekreační matematiky, (?:?), 1980, p.4.
9. Brooks, R. L.; Smith, C. A. B.; kámen, A. H.; a Tutte, W. T. “rozpitvávání obdélníků do čtverců.” Duke matematika. J. 7, 312-340, 1940

Vnější spojení:

• Nikde-čisté čtvercové obdélníky
• Nikde-čisté čtvercové čtverce
• Dláždit rovník teoreticky a praxi [[ Tom Johnson]
• Self-kopírovat smyčky Tom Johnson
• Některá pozorování na obkládajících problémech Tom Johnson

odkazy

• Obkládat a vzory B. Grunbaum a G. C. Shephard. 1987