Topological prostor
Topological prostory jsou struktury, které dovolí jednoho formovat pojetí takový jako sbližování, connectedness a souvislost. Oni se objeví ve všech větvích moderní matematika a moci být viděn jak centrální unifikovat pojem. Odvětví matematiky, která studuje prostory topological v jejich vlastní pravý je nazýván topologií.
Formální definice
Formálně, topological prostor je soubor X spolu se sbírkou T podmnožin X (i.e., T je podmnožina elektrického souboru X) uspokojující následovat axiómy:
- prázdná množina a X být v T.
- Spojení nějaké sbírky souborů v T je také v T.
- Křižovatka nějakého pára souborů v T je také v T.
Soubor
T je nazýván
topologií na
X. Nastává
T být odkazoval se na jako
otevřené souborya jejich doplňky v
X být nazýván
uzavřenými soubory. Elementy
X být často nazýván
body. Ostře mluvit, topologie je způsob, jak specifikovat pojetí “nearness”; otevřený soubor je “blízký” každý jeho bodů.
Vztahy mezi topologiema
Rozmanitost užitečný a ne-tak-užitečné topologie mohou být umístěny na téměř některý zapadl tvořit prostor topological. Když každý soubor v topologii T1 je také nalezený v topologii T2, my říkáme, že T2 je jemnější než T1, a T1 je hrubější než T2. Důkaz který se spoléhá jen na existenci jistých otevřených souborů bude také držet pro nějakou jemnější topologii, a podobně důkaz to se spoléhá jen na jistých souborech ne být otevřený platí o nějaké hrubější topologii. Jiné požadavky, takový jak silnější, slabší, větší, a menší být použit v literatuře ale s malou shodou v jejich významech.
Spojité funkce
funkce mezitím topological prostory je řekl, aby byl spojitý jestliže originál každého otevřeného souboru je otevřený. Toto je pokus zachytit intuici to tam jsou žádná “přerušení” nebo “oddělení” ve funkci. homeomorphism je bijective mapování to je spojité a jehož inverzní je také spojitý. Dva prostory jsou řekl, aby byl homeomorphic jestliže tam existuje homeomorphism mezi nimi. Od hlediska topologie, homeomorphic prostory jsou nezbytně totožné.
kategorie všech prostorů topological, Vrchol, s prostory topological jako objekty a spojité funkce jak morphisms je jeden z základních kategorií v celé matematice. Pokus třídit předměty této kategorie invariants motivoval a tvořil celé oblasti výzkumu, takový jako homotopy teorie, homology teorie, a K-teorie, ke jménu jen nemnoho.
Alternativní definice
Tam je mnoho jiných rovnocenných způsobů, jak definovat prostor topological. (jinými slovy, každý pokračování definuje kategorii ekvivalentní ke kategorii prostorů topological nahoře.)
- Používat de morganská práva, axiómy definovat otevřené soubory se stát axiómy definovat uzavřené soubory:
Prázdná množina a
X být zavřen.
- Křižovatka nějaké sbírky uzavřených souborů je také uzavřená.
- Spojení nějakého pára uzavřených souborů je také uzavřené.
- Kuratowski axiómy uzavření určovat uzavřené soubory jako fixované body operátora na elektrické scéně X.
- sousedství bodu x nějaký soubor, který obsahuje otevřený soubor obsahuje x. systém sousedství u x sestává ze všech sousedství x. Topologie může být určena souborem axiómů ohledně všech systémů sousedství. Equivalently, topologie může být určována nearness vztah mezi soubory a body.
- síť je zevšeobecňování pojetí sekvence. Topologie je kompletně předurčená jestliže pro každou síť v X soubor jeho hromadných bodů je specifikován.
Příklady prostorů topological
- Soubor reálných čísel R je prostor topological: otevřené soubory jsou vytvořeny základem otevřených pauz. Toto znamená soubor je otevřený jestliže to je odbor (možná nekonečně mnoho) otevřít intervalss. Toto je mnoha způsoby nejzákladnější topological prostor a jeden to průvodcové většina z naší lidské intuice. Nicméně, spoléhat se na reálné ose jako intuitivní průvodce pro generála pojetí prostoru topological může často být nebezpečné.
- Více obecně, Euclidean prostory Rn jsou topological prostory a otevřené soubory jsou vytvoření otevřenýma míči.
- Nějaký metrický prostor se změní na prostor topological jestliže definovat otevřené soubory být vytvořen souborem všech otevřených míčů. Toto obsahuje užitečný nekonečný-dimenzionální prostory jako Banach prostory a Hilbert prostory studovali v funkční analýze.
- Reals může také být dáván horní-limitovat topologii. Tady, otevřené soubory sestávají z prázdné množiny, celé reálné osy a všech souborů vytvořených polovinou-otevřené intervaly formy (, b]. Tato topologie na R je přísně větší než Euclidean topologie vymezila nahoře; sekvence sblíží se k důvodu k této topologii jestliže a jediný jestliže to se sblíží zezdola v Euclidean topologii. Tento příklad ukáže, že soubor může mít mnoho zřetelných topologií definovaných na tom.
- Každý různý je prostor topological.
- Každý simplexní je prostor topological. Simplexes je konvexní objekty, které jsou velmi užitečné v výpočetní geometrii. V 0, 1, 2 a 3 dimenzionální prostor simplexes jsou bod, úsečka, trojúhelník a čtyřstěn, příslušně.
- Každý komplex simplicial je prostor topological. Simplicial komplex je tvořen mnoho simplices. Mnoho geometrických objektů může být modeled komplexy simplicial -- viz též Polytope.
- Zariski topologie je čistě algebraicky definovaná topologie na spektru prstenu nebo algebraické rozmanitosti. Na Rn nebo Cn uzavřené soubory Zariski topologie jsou řešící soubory soustav polynomial rovnic.
- Lineární graf je prostor topological, který zevšeobecní mnoho z geometrických aspektů graphss s vertices a okraji.
- Mnoho souborů operátorů v funkční analýze je obdařeno topologiema, které jsou definovány tím, že specifikuje když zvláštní sled funkcí sblíží se k funkci nuly.
- Nějaký soubor může dostat jednotlivou topologii ve kterém každý soubor je otevřený. Jediné konvergentní sekvence nebo sítě v této topologii jsou ti to být nakonec konstanta.
- Nějaký soubor může dostat triviální topologii ve kterém jen prázdná množina a celý prostor jsou otevření. Každá sekvence a síť v této topologii sblíží se ke každému bodu prostoru. Tento příklad ukáže, že obecně topological rozmístí, limity sekvencí nemusí být jedinečné.
- Nějaká nekonečná množina může dostat cofinite topologii ve kterém otevřené soubory jsou prázdná množina a soubory jehož doplněk je konečný. Toto je nejmenší 1 topologie na scéně.
- Jestliže a gama; je pořadové číslo pak soubor [0, a gama;] je prostor topological, vytvořený pauzami (, b], kde a b jsou elementy a gama;.
Budovat nové topological prostory od daných
- Každá podmnožina topological prostoru může dostat subspace topologii ve kterém otevřené soubory jsou křižovatky otevřených souborů většího prostoru se podmnožinou.
- Pro nějaký nonempty sbírka topological rozmístí, produkt může dostat topologii produktu. Pro konečné produkty, otevřené soubory jsou vytvořeny produkty otevřených souborů.
- prostor kvocientu je definován takto. Jestliže f: X a rarr; Y je funkce a X je prostor topological, pak Y dostane topologii kde soubor je otevřený jestliže a jediný jestliže jeho originál je otevřený. Běžný příklad přijde z vztahu rovnocennosti definovaný na prostoru topological X: mapa f je pak přirozená projekce na souboru tříd rovnocennosti.
- Vietoris topologie na souboru všech non-vyprázdnit podmnožiny prostoru topological X je vytvořen následujícím základem: pro každý n- n-tice U1,....,Un otevřených souborů v X my budujeme soubor základu sestávat ze všech podmnožin odboru Ui který non-vyprázdnit průsečík s každým Ui.
Klasifikace prostorů topological
Topological prostory mohou být široce klasifikovaný shodovat se k jejich míře connectedness, jejich velikosti, jejich míry kompaktnosti a míry oddělení jejich bodů a podmnožin. Velký mnoho požadavků je použito v topologii dosáhnout těchto rozdílů. Tyto požadavky a definice jsou shromážděny v Glosáři topologie. Používat tyto požadavky, my můžeme dávat následující klasifikaci:
Oddělení bodů
Pro detailní léčbu, viďte Axióm oddělení. Někteří tyto požadavky jsou definovány rozdílně ve starší matematické literatuře; vidět minulost axiómů oddělení.
- Triviální topologie. Prostor nese triviální topologii jestliže všechny body jsou “koncentrovaný spolu” v pocitu, že jsou tam jen dva otevřít soubory, prázdnou množinu a celý prostor.
- 0. Prostor je 0 jestliže pro každý pár zřetelných bodů x a y v prostoru, jeden tam otevřený soubor obsahuje x ale ne y, nebo tam otevřený soubor obsahuje y ale ne x.
- 1. Prostor je 1 jestliže pro každý pár zřetelných bodů x a y v prostoru, tam otevřený soubor obsahuje x ale ne y. (srovnat s T0; tady, my máme dovoleno specifikovat kterého bod bude obsažený v otevřeném souboru.) Equivalently, prostor je T1 jestliže všichni jeho singletons jsou zavřeny. T1 prostory jsou vždy T0.
- Hausdorff nebo 2. Prostor je Hausdorff jestliže každý dva zřetelné body mají disjoint sousedství. Hausdorff prostory jsou vždy T1.
- Pravidelný. Prostor je pravidelný jestliže kdykoli C je uzavřený soubor a p je bod ne v C, pak C a p disjoint sousedství.
- Pravidelný Hausdorff nebo 3. Prostor je pravidelný Hausdorff jestliže to je pravidelný T0 prostor. (pravidelný prostor je Hausdorff jestliže a jediný jestliže to je T0, tak terminologie je shodná.)
- Úplně pravidelný. Prostor je úplně pravidelný jestliže kdykoli C je uzavřený soubor a p je bod ne v C, pak C a {p} být funkčně oddělený.
- Tychonoff, Kompletně pravidelný Hausdorff, 3 nebo 3½. Tychonoff prostor je kompletně pravidelný T0 prostor. (kompletně pravidelný prostor je Hausdorff jestliže a jediný jestliže to je T0, tak terminologie je shodná.) Tychonoff prostory jsou vždy pravidelné Hausdorff.
- Normální. Prostor je normální jestliže nějaké dva disjoint uzavřené soubory mají disjoint sousedství. Normální prostory připustí rozdělí jednoty.
- Normální Hausdorff nebo 4. Normální prostor je Hausdorff jestliže a jediný jestliže to je T1. Normální Hausdorff prostory jsou vždy Tychonoff.
- Úplně normální. Prostor je kompletně normální jestliže nějaké dva oddělené soubory mají disjoint sousedství.
- Kompletně normální Hausdorff nebo 5. Kompletně normální prostor je Hausdorff jestliže a jediný jestliže to je T1. Kompletně normální Hausdorff prostory jsou vždy normální Hausdorff.
- Diskrétní prostor. Prostor je jednotlivý jestliže všichni jeho bodů být kompletně izolovaný, tj. jestliže nějaká podmnožina je otevřená.
Kompaktnost
- Paracompact. Prostor je paracompact jestliže každá všeobecná pojistka má otevřený místně konečný refinement. Paracompact Hausdorff prostory jsou normální.
- Lindelöf. Prostor je Lindelöf jestliže každá všeobecná pojistka má počitatelný subcover.
- Countably stlačuje. Prostor je countably kompaktní jestliže každá počitatelná všeobecná pojistka má konečný subcover.
- Kompaktní. Prostor je kompaktní jestliže každá všeobecná pojistka má konečný subcover. Kompaktní prostory jsou vždy Lindelöf a paracompact. Kompaktní Hausdorff prostory jsou proto normální.
- Místně kompaktní. Prostor je místně kompaktní jestliže každý bod má místní základ sestávat z kompaktních sousedství. Místně kompaktní Hausdorff prostory jsou vždy Tychonoff.
Countability podmínky
- Oddělitelný. Prostor je oddělitelný jestliže to má počitatelný hustá podmnožina.
- Nejprve-počitatelný. Prostor je nejprve-počitatelný jestliže každý bod má počitatelný místní základ.
- Sekunda-počitatelný. Prostor je sekunda-počitatelný jestliže to má počitatelnou základnu pro jeho topologii. Sekunda-počitatelné prostory jsou vždy oddělitelné, nejprve-počitatelný a Lindelöf.
Connectedness
- Se připojil. Prostor X je připojený jestliže to není spojení pára disjoint nonempty otevřené soubory. Equivalently, prostor je spojen jestliže jediné clopen soubory jsou celý prostor a prázdná množina.
- Místně připojený. Prostor je místně připojený jestliže každý bod má místní základ sestávat z připojených souborů.
- Totálně rozpojený. Prostor je totálně rozpojený jestliže to má žádnou připojenou podmnožinu se víc než jedním bodem.
- Cesta-připojený. Prostor X je cesta-připojený jestliže pro každý dva body x, y v X, tam je cesta p od x k y, tj., nepřetržitá mapa p: [0, 1] a rarr; X s p(0) = x a p(1) = y. Cesta-souvislé prostory jsou vždy spojeny.
- Místně cesta-připojený. Prostor je místně cesta-připojený jestliže každý bod má místní základ sestávat z cesty-připojené soubory. Místně cesta-souvislý prostor je spojen jestliže a jediný jestliže to je cesta-připojený.
- Jednoduše souvislý. Prostor X je jednoduše souvislý jestliže to je cesta-připojená a každá nepřetržitá mapa f: S1 a rarr; X je homotopic k mapě konstanty.
- Contractible. Prostor X contractible jestliže identitní mapa na X je homotopic k mapě konstanty. Contractible prostory jsou vždy jednoduše souvislé.
Rozmanitý
- Metrizable. Prostor je metrizable jestliže to je homeomorphic k metrickému prostoru. Metrizable prostory jsou vždy Hausdorff a paracompact (a od této doby normální a Tychonoff), a nejprve-počitatelný.
- Polský. Prostor je volán polský jestliže to je metrizable s oddělitelný a kompletní metrický.
- Místně metrizable. Prostor je místně metrizable jestliže každý bod má metrizable sousedství.
- Baire prostor. Prostor X je Baire prostor jestliže to není hubené v sobě. Equivalently, X je Baire prostor jestliže křižovatka countably mnoho hustých otevřených souborů je hustý.
- Homogenní. Prostor X je homogenní jestliže pro každý x a y v X tam je homeomorphism f : X -> X takový to f(x) = y. Intuitivně mluvit, toto znamená, že prostor se dívá stejný na každém místě. Všechny skupiny topological jsou homogenní.
Topological prostory s algebraickou strukturou
To je téměř všeobecně pravdivé to všichni “velký” algebraické objekty nesou přirozenou topologii, která je slučitelná s algebraickými operacemi. Aby studoval tyto objekty, jeden typicky musí vzít topologii do účtu. Toto vede k pojetím takový jako skupiny topological, topological vektorové prostory a prsteny topological.
Historie
Viďte topologii.