Topologie
Topologie je studium nebo věda míst. To odvodí jeho název od Řeckých slov a tau; a omicron; a pi; a omicron; a sigmaf; znamenat místo a a lambda; a omicron; a gama; a omicron; a sigmaf; znamenat studium, hovor.
Vidět také: věda země, fyzická geografie, geografie člověka, geomorphology
V architektuře, je termín použitý popisovat prostorové efekty, které nemohou být popsané topografií, tj., social, úsporný, spatial nebo fenomenologická vzájemná ovlivňování.
V matematice, topologie je větev zaujatá studií o prostorech topological. (termín topologie je také používána pro soubor otevřených souborů definoval prostory topological, ale tento článek se zaměří na odvětví matematiky. Vedení a počítačové topologie sítě jsou diskutováni v topologii sítě.)
Topologie je také zaujatá studií o takzvaných topological vlastnostech čísel, to má říkat vlastnosti, které se nemění dolů bicontinuous osobní transformace (volaly homeomorphisms). Dvě čísla, která mohou být deformovaný do jiný být nazýván homeomorphic, a být zvažován být stejný od topological hlediska. Například kostka pevné látky a koule pevné látky jsou homeomorphic.
Nicméně, to není možné deformovat kouli do kruhu bicontinuous osobní transformací. Rozměr je ve skutečnosti, topological vlastnictví. V jistém smyslu, topological vlastnosti jsou hlubší vlastnosti čísel.
glosář topologie obsahuje definice termínů používaných skrz topologii.
Historie
Kořen topologie byl ve studiu geometrie v dávných kulturách. Leonhard Euler' s papír na Sedm mostů Königsberg je považován za jeden z prvních výsledků na geometrii, která nezávisí na nějakých měřeních, tj., na topologii.
Maurice Fréchet představil představu o metrickém prostoru v 1906.
George Cantor, vynálezce teorie množin, studoval značně na limitech.
V 1914, Hausdorff razil termín “topological prostor” a dal definici čemu je nyní nazýván Hausdorff prostorem.
Aktuální koncept topological prostoru byl popsaný Kuratowski v 1922.
Základní úvod
Topological prostory se ukážou přirozeně v matematické analýze, abstraktní algebře a geometrii. Toto dělalo topologii jednoho velký unifikovat myšlenky na matematiku. Obecná topologie, nebo bod-dal topologii, definuje a studuje některé užitečné vlastnosti prostorů a map, takový jako connectedness, kompaktnost a souvislost. Algebraická topologie silný nástroj ke studiu topological prostory a mapy mezi nimi. To se stýká “jednotlivý”, více vypočitatelné invariants k mapám a prostorům, často v functorial cestě. Nápady od algebraické topologie měly silný vliv na algebru a algebraickou geometrii.
Motivovat nahlédnutí za topologií je že některé geometrické problémy závisí ne na přesném tvaru zahrnutých objektů, ale poněkud na “cesta oni jsou spojeni spolu”. Jeden z původních dokladů v topologii byl demonstrace, Leonhard Euler, že to bylo nemožné najít cestu přes město Königsberg (nyní Kaliningrad) to by procházelo přes každého jeho sedm mostů přesně jakmile. Tento výsledek nezávisel na délkách mostů, ani na jejich vzdálenosti z jednoho jiný, ale jediný na vlastnostech konektivity: které mosty jsou propojené na které ostrovy nebo břehy řeky. Tento problém, Sedm mostů Königsberg, je nyní slavný problém v úvodní matematice.
Podobně, vlasatý míčový teorém algebraické topologie říká, že “jeden nemůže česat vlasy na míči hladký”. Tento fakt je okamžitě přesvědčivý k většině lidem, ačkoli oni by nemohli rozpoznat více formální prohlášení teoréma, že není tam žádný nonvanishing spojitý vektor tangenty pole na kouli. Jak s Mosty Königsberg, výsledek nezávisí na přesném tvaru koule; to platí o tvarech hrušky a ve skutečnosti nějaký druh kapky, jak dlouho jak to udělá žádné díry.
Aby se zabýval těmito problémy, které se nespoléhají na přesný tvar objektů, jeden musí být jasný o jen jaké vlastnosti tyto problémy dělají spoléhat se na. Od tohoto potřeba vyvstane ponětí o rovnocennosti topological. Nemožnost přejití každého mostu jen jednou platí o nějakém uspořádání mostů topologically ekvivalentních k těm v Königsberg, a vlasatý míčový teorém platí o nějakém prostoru topologically ekvivalentním ke kouli. Formálně, dva prostory jsou ekvivalent topologically jestliže tam je homeomorphism mezi nimi. V tom případě prostory jsou řekl, aby byl homeomorphic, a oni jsou zvažováni být nezbytně stejný pro účely topologie.
Formálně, homeomorphism je definován jak spojitý bijection s spojitý inverzní, který není hrozně intuitivní dokonce k jednomu kdo zná co slova v definici znamenají. Více neformální kritérium dá lepší vizuální smysl: dva prostory jsou ekvivalent topologically jestliže jeden může být deformovaný do jiný bez výstřižku to oddělený nebo lepit kusy toho spolu. Tradiční vtip je to topologist nemůže říct šálku kávy, ze kterého ona pije od koblihy, kterou ona jí od té doby, co dostatečně ohebná kobliha mohla být přebudována k formě šálku kávy tím, že vytvoří jamku a postupně zvětší to, zatímco zmenší díru do kliky.
Jedno jednoduché úvodní cvičení má zařadit dopisy Anglické abecedy shodovat se k rovnocennosti topological. To je jednoduchý, to je předpokládal, že řady dopisů mají šířku nonzero. Pak ve většině fontech, tam je třída {, b, d, e, g, o, p, q} dopisů s dírou, třída {c, f, h, k, l, m, n, r, s, t, u, v, w, x, y, z} dopisů bez díry a třídy {i, j} dopisů sestávat ze dvou kusů. Pro více komplikované cvičení, to může být předpokládal, že linky mají nulovou šířku; jeden může dostat několik různých klasifikací spoléhat se na kterého font je používán.
- Každý zavřel pauzu v R konečné délky je kompaktní. Více je pravdivý: V Rn, soubor je kompaktní iff to je uzavřené a ohraničený. (vidět Heine-Borel teorém).
- Každá nepřetržitá představa o kompaktním prostoru je kompaktní.
- Tychonoff teorém: (Libovolný) produkt kompaktních prostorů je kompaktní.
- Kompaktní subspace Hausdorff prostoru je zavřen.
- Každá sekvence důvodů ke kompaktnímu metrickému prostoru má konvergentní subsequence.
- Každá pauza v R je připojený.
- Nepřetržitá představa o připojeném prostoru je spojena.
- metrický prostor je Hausdorff, také normální a paracompact.
- metrization teorémy poskytují nutné a dostatečné podmínky pro topologii přijít z metrický.
- Tietze rozšiřovací teorém: V normálním prostoru, každý spojitý skutečný-oceněná funkce definovaná na uzavřeném subspace může být rozšířena k nepřetržité mapě definované na celém prostoru.
- Baire teorém kategorie: Jestliže X je kompletní metrický prostor nebo místně kompaktní Hausdorff prostor, pak vnitřek každého odboru countably mnoho nikde husté soubory je prázdný.
- Na paracompact Hausdorff rozmístí každá všeobecná pojistka připustí rozdělení jednoty podřízený krytu.
- Každý cesta-připojený, místně cesta-připojený a polořadovka-místně jednoduše souvislý prostor má kryt univerzálie.
Některé užitečné pojmy od algebraické topologie
Viz též seznam algebraických topologických témat.
- Homology a cohomology: Čísla Betti, Eulerova charakteristika.
- Hezké aplikace: Brouwer připravil bod pro teorém, Borsuk-Ulam teorém.
- Homotopy se seskupí (včetně základní skupiny).
- Chern třídy, Stiefel Whitney třídy, Pontrjagin třídy.
Útržkovitý náčrt hlubší teorie
- (Co) sekvence vlákna: Puppe sekvence, počítání
- Homotopy skupiny koulí
- Teorie obstrukce
- K-teorie: Knokaut, algebraický K-teorie
- Homotopy stáje
- Hnědé representability
- (Co)bordism
- Podpisy
- BP a Morava K-teorie
- Obstrukce chirurgie
- H-prostory, prostory nekonečné smyčky,a infin; prsteny
- Homotopy teorie affine schémat
- Cohomology křižovatky
Zevšeobecňování
Občas, jeden potřebuje používat nástroje topologie, ale “soubor bodů” není dostupný. V nesmyslné topologii jeden zváží to raději mříž otevřených souborů jako základní pojem teorie, zatímco Grothendieck topologie jsou jisté struktury definovaný na libovolný kategorie který dovolit definici svazků na těch kategoriích, a s tím definice docela obecného cohomology teorie.
- Seznam geometrických topologických témat
- Topological prostor
- Topologie sítě
- Topologie spojení
- Topologie vesmíru
- Mapa krytiny