Nerovnost trojúhelníku

V matematice, nerovnost trojúhelníku je sdělení, které řekne hrubě to vzdálenost od k B k C je nikdy kratší než jít přímo od k C. nerovnost trojúhelníku je teorém v prostorech takový jako reálná čísla, Euclidean prostor, ^p prostory (p a ge; 1) a více obecně ve všech prostorech skalárního součinu; to je axióm v definici abstraktních představ takové jak normed vektorové prostory a metrické prostory.

V normed vektorovém prostoru V, nerovnost trojúhelníku čte

| |x + y| | a le; | |x| | + | |y| | pro všechny x, y v V

ve slovech: “standard sumy dvou vektorů je u nejvíce jak velký jako suma standardů dvou vektorů.”

V metrickém prostoru M, nerovnost trojúhelníku je

d(x, z) a le; d(x, y) + d(y, z) pro všechny x, y, z v M

ve slovech: vzdálenost od x k z je u nejvíce jak velký jako suma vzdálenosti od x k y a vzdálenost od y k z.

Následující důsledek trianglu nerovnosti jsou často užitečné; oni dávají nižší hranice místo toho horních hranic:

| | |x| | - | |y| | | a le; | |x + y| |

který vyjadřuje skutečnost, že standard je nepřetržitá mapa, a

| d(x, y) - d(y, z) | a le; d(x, z)

který říká, že metrický je nepřetržitá mapa.

Viz též Cauchy-Schwarz nerovnost.