Tychonoff prostor
V topologii a příbuzné brances matematiky, Tychonoff prostory a kompletně pravidelné prostory jsou obzvláště hezké druhy prostorů topological. Tyto podmínky jsou příklady axiómů oddělení.Tychonoff prostory jsou pojmenované po Andreyi Tychonoff, jehož Ruské jméno (Тихонов) je také někdy přepsaný jako “Tychonov”, “Tikhonov”, “Tihonov”, nebo “Tichonov”.
| Tabulka s obsahem |
| 1 definice 2 příklady a counterexamples 3 vlastnosti |
Předpokládat to X je prostor topological.
X kompletně pravidelný prostor iff, daný některý uzavřený soubor F a nějaký bod x to nepatří k F, tam je spojitá funkce f od X k reálné ose R takový to f(x) = 0 a f(y) = 1 pro každý y v F. V přepychovějších termínech, tato podmínka říká to x a F moci být oddělený funkcí.
X je Tychonoff prostor, nebo 3½ prostor, nebo a pi; prostor, nebo 3 prostor jestliže a jediný jestliže to je oba kompletně pravidelný a Hausdorff).
Poznamenat, že nějaká matematická literatura používá odlišné definice pro termín “úplně pravidelný” a požadavky zahrnovat “T”. Definice že my jsme dali tady být ones obvykle použitý dnes; nicméně, někteří autoři mění významy dvou druhů požadavků nebo použití všechny požadavky synonymously pro jen jednu podmínku. V Wikipedia, my budeme používat termíny “úplně pravidelný” a “Tychonoff” volně, ale my vyhneme se méně jasný “T” požadavky. V jiné literatuře, vy byste měli vyžadovat péči zjistit které definice autor je používání. (fráze “kompletně pravidelný Hausdorff”, nicméně, je jednoznačný, a vždy znamená Tychonoff prostor.) pro více na toto téma, vidět minulost axiómů oddělení.
Kompletně pravidelné prostory a Tychonoff prostory jsou příbuzní přes ponětí o Kolmogorov rovnocennosti. Topological prostor je Tychonoff iff to má oba kompletně pravidelný a 0. Na druhé straně, prostor je kompletně pravidelný iff jeho Kolmogorov kvocient je Tychonoff.
Téměř každý prostor topological studovaný v matematické analýze je Tychonoff, nebo přinejmenším kompletně pravidelný. Například, reálná osa je Tychonoff. Jiné příklady obsahují:
- Každý metrický prostor je Tychonoff; každý prostor pseudometric je kompletně pravidelný.
- Každý místně kompaktní pravidelný prostor je kompletně pravidelný a každý místně kompaktní Hausdorff prostor je Tychonoff.
- Zvláště, každý topological různý je Tychonoff.
- Každý totálně spořádaný soubor s topologií objednávky je Tychonoff.
- Každá skupina topological je kompletně pravidelná.
- Zevšeobecňovat jak metrické prostory tak skupiny topological, každý jednotný prostor je kompletně pravidelný.
- Každý CW komplex je Tychonoff.
- Každý normální pravidelný prostor je kompletně pravidelný a každý normální Hausdorff prostor je Tychonoff.
Vlastnosti
Dokončit pravidelnost a Tychonoff-ness jsou chráněny tím, že vezme počáteční topologie. Zvláště, všichni subspacess a prostory produktu Tychonoff nebo kompletně pravidelné prostory mají stejnou vlastnost.
Tychonoff prostory jsou přesně ty prostory topological, které mohou být vložené v kompaktní Hausdorff prostor. Více přesně, pro každý Tychonoff prostor X, tam existuje kompaktní Hausdorff prostor K a injective nepřetržitá mapa j: X a rarr; K takový to ja bez; 1 je také spojitý. Zvláštního zájmu jsou ty embeddings kde j(X) je hustý v K; tito jsou nazýváni Hausdorff compactifications X.
Mezi ty Hausdorff compactifications, tam je jedinečný “nejobecnější” jeden, Kámen-Cech compactification a beta;X. To je charakterizováno univerzální vlastností to, daný nepřetržitá mapa f od X k nějakému jinému kompaktnímu Hausdorff prostoru Y, tam je jedinečný nepřetržitá mapa g: a beta;X a rarr; Y to se prodlužuje f v pocitu, že f = g o j.
Jak zmínil se o nahoře, každý jednotný prostor má kompletně pravidelnou topologii. Naopak, nějaký kompletně pravidelný prostor X moci být dělán do jednotného prázdna nějakým způsobem. Jestliže X je Tychonoff, pak jednotná struktura může být vybrána tak to a beta;X se stane dokončením jednotného prostoru X.