Ultrafilter Lemma

ultrafilter je maximal filtr -- pro každý soubor, jeden to zapadlo nebo jeho doplněk je ve filtru. Ultrafilter Lemma říká, že každý filtr je podmnožina nějakého ultrafilter.

Zkušební lemma od axioma výběru je aplikace Zorn je Lemma, a je docela standard jak tyto věci jdou. Částečné uspořádání je jednoduše to podmnožiny. Non-triviální část se ukáže jako to maximal filtr obsahuje každý soubor nebo jeho doplněk. Nechal nás říkat F obsahuje žádného ani X \ \ . Od maximality, to znamená tam je soubor B v F takový to křižovatka a B je prázdný (jinak, odbor F a {} by tvořil filtr). Podobně, tam je C takový to křižovatka C a X \ \  je prázdný. Křižovatka C a B (nechal nás volat to D) je v F. D má prázdný průsečík s oběma a X \ \ , tak to má prázdnou křižovatku s X, tak to je prázdné. Ale filtr nemůže obsahovat prázdnou množinu.

Tento důkaz používá Zorn je Lemma, který je ekvivalentní k axiomu výběru. Ultrafilter Lemma nemůže být dokázaný od ZF (Zermelo-Fraenkel axiómy) osamocený, a to nemůže být používáno ukázat se jako axiom výběru, tak to je vhodně slabší.