Úvodní stránka | Tato stránka v originále

Jednotné sbližování

V matematické analýze, sekvence { fn } funkcí se sblíží jednotně k omezené funkci f jestliže rychlost sbližování fn(x) k f(x) nezávisí na x. Tento pojem je používán protože několik důležitých vlastností funkcí fn, takový jako souvislost, differentiability a Riemann integrability, být jen přenesený do limitu f jestliže sbližování je uniformní.

Tabulka s obsahem
1 definice a srovnání se sbližováním pointwise
2 Topological reformulation
3 teorémy
4 zevšeobecňování
5 historie
6 odkazu

Definice a srovnání se sbližováním pointwise

Předpokládat S je soubor a fn : S -> R být skutečný-cenil funkce pro každé přirozené číslo n. My říkáme, že sekvence (fn) se sblíží jednotně s limitem f : S -> R iff

pro každý a epsilon; > 0, tam existuje přirozené číslo N, takový to pro všechny x v S a všichni n a ge; N: |fn(x) a bez; f(x) |
Porovnat toto k představě o pointwise sbližování: Sekvence (fn) se sblíží pointwise s limitem f : S -> R iff
pro každý x v S a každý a epsilon; > 0, tam existuje přirozené číslo N, takový to pro všechny n a ge; N: |fn(x) a bez; f(x) |
V případě jednotného sbližování, N moci jen záviset na a epsilon;, chvíle v případě pointwise sbližování N smět záviset na a epsilon; a x. To je proto jasné, že sbližování uniformy implikuje pointwise sbližování. Hovořit je ne pravdivý, jak následování příkladu se ukáže: brát S být pauza jednotky [0, 1] a vymezit fn(x) = xn pro každé přirozené číslo n. Pak (fn) se sblíží pointwise k funkci f definovaný f(x) = 0 jestliže x f(1) = 1. Toto sbližování není jednotné: například pro a epsilon; = 1/4, tam existuje ne N podle potřeby definicí.

Topological reformulation

Daný prostor topological X, my můžeme vybavit prostor skutečný/komplex funguje přes X s jednotnou normovou topologií. Pak, jednotné sbližování jednoduše znamená sbližování v jednotné normové topologii.

Teorémy

Jestliže S je skutečný pauza (nebo opravdu některý topological prostor), my můžeme mluvit o souvislosti funkcí fn a f. Pokračování je více důležitý výsledek o jednotné souvislosti:

Jestliže (fn) je sled nepřetržitých funkcí který se sblíží jednotně k funkci f, pak f je spojitý také.
Jestliže S je pauza a všechny funkce fn být differentiable a soustředit se k limitu f, to je často žádoucí rozlišit funkci limitu f tím, že vezme limit derivátů fn. Toto je nicméně obecně nemožný: dokonce jestliže sbližování je uniformní, funkce limitu nemusí být differentiable, a dokonce jestliže to je differentiable, derivát funkce limitu nemusí být stejný s limitem derivátů. Zvážit to například fn(x) = 1 /n hřích (nx) s limitem uniformy 0, ale deriváty se nepřiblíží 0. Přesná sdělovací krytina tato situace je takto:
Jestliže fn se sblíží jednotně k f, a jestliže celá fn jsou differentiable, a jestliže deriváty f'n sblížit se jednotně k g, pak f je differentiable a jeho derivát je g.
Podobně, jeden často chce vyměnit integrals a omezit procesy. Pro Riemann základní, jeden potřebuje vyžadovat jednotné sbližování:
jestliže (fn) je sled Riemann funkce integrable, které jednotně se sbližují s limitem f, pak f Riemann integrable a jeho základní moci být počítán jako limit integrals fn.
Mnohem silnější teorémy v tomto směru, který vyžadovat ne hodně víc než pointwise sbližování, moci být získán jestliže jeden opouští Riemann základní a používá Lebesgue integal místo toho.

Jestliže S je kompaktní pauza (nebo obecně kompaktní topological prostor), a (fn) je monotónní rostoucí sekvence (mínit fn(x) a le; fn+ 1(x) pro všechny n a x) nepřetržitých funkcí s limitem pointwise f který je také spojitý, pak sbližování je nutně jednotné (“Dini teorém”).

Zevšeobecňování

Jeden může přímo rozšířit pojetí na funkce S -> M, kde (M, d) je metrický prostor, narazením |fn(x) - f(x) | s d(fn(x), f(x)).

Nejvíce obecné nastavení je uniformní sbližování netss funkcí S -> X, kde X je jednotný prostor. My říkáme, že síť (fa alpha;) se sblíží jednotně s limitem f : S -> X iff

pro každý doprovod V v X, tam existuje a alpha;0, takový to pro každý x v Já a každý a alpha; = > a alpha;0: (fa alpha;(x), f(x)) je v V.
Nahoře se zmínil o teorému, říkat, že jednotný limit spojitých funkcí je spojitý, pozůstatky korektní v těchto nastaveních.

Historie

Cauchy v 1821 vydával vadnou korekturu lživého prohlášení že pointwise limit sledu spojitých funkcí je vždy spojitý. Fourier a Abel našel příklady pultu v souvislosti s Fourier sériemi. Dirichlet pak analyzoval Cauchy důkaz a nacházel chybu: ponětí o sbližování pointwise muselo být nahrazený jednotným sbližováním.

Riemann směřoval k potřebě pro rozlišovat mezi absolutně a relativně konvergentní série jeho teorémem nového uspořádání. To ukáže, že to je možné přeskupit podmínky podmíněně cnvergent série tak že odvozená série convergest k nějakému požadovanému limitu

Odkaz

Teorie a aplikace nekonečné řady, Konrad Knopf, Blackie a syn, London, 1954, dotisknutý Dover publikacemi, ISBN 0486661652