Odbor (dal teorii)

V teorii množin a jiných odvětvích matematiky, odbor některých souborů je soubor, který obsahuje všechno to patří k některému souborů, ale nic jinde.

Tabulka s obsahem

1 základní definice 2 algebraické vlastnosti 3 Infinitary odbory

Základní definice

Jestliže a B jsou soubory pak odbor a B je soubor, který obsahuje všechny elementy a všechny elementy B, ale žádné další prvky. Odbor a B je standardly psaný” a pohár; B”. Formálně:

x je element a pohár; B jestliže a jediný jestliže

• x je element nebo

x je element B.

(Toto je zahrnující “nebo”.)

Například, spojení souborů {1, 2, 3} a {2, 3, 4} je {1, 2, 3, 4}. Číslo 9 je ne obsažený ve spojení souboru prvočísel {2, 3, 5, 7, 11,...} a soubor sudých čísel {2, 4, 6, 8, 10,...}, protože 9 je žádný připravit ani dokonce.

Více obecně, jeden může vzít spojení několika souborů najednou. Odbor , B, a C, například, obsahuje všechny elementy , všechny elementy B, a všechny elementy C, a nic jinde. Formálně, x je element a pohár; B a pohár; C iff x je v nebo x je v B nebo x je v C.

Algebraické vlastnosti

Binární odbor (odbor jen dva soubory v době) je asociativní operace; to je, a pohár; (B a pohár; C) = ( a pohár; B) a pohár; C. Ve skutečnosti, a pohár; B a pohár; C je stejný s oběma těchto souborů také, tak parentheses být nikdy potřebován když píše jediné odbory. Podobně, odbor je komutativní, tak vy můžete psát soubory v některém nařídí. prázdná množina je element identity pro operaci odboru. To je, {} a pohár; = , pro nějaký soubor . Tak jeden může myslet na prázdnou množinu jako spojení nulových souborů. V podmínkách definic, tyto fakty vyplývají z podobných faktů o logické disjunkci.

Spolu s křižovatkou a doplňkem, odbor dělá nějaký elektrický soubor do Booleovské algebry. Například odbor a křižovatka rozděluje přes každého jiný, a všechny tři operace jsou spojeny v de morganských právech. Jestliže vy chcete Booleovský prsten místo toho booleovské algebry, pak vy můžete nahradit spojení s rozdílem symmetric.

Infinitary odbory

Nejvíce obecný pojem je spojení libovolné sbírky souborů. Jestliže M je soubor jehož elementy jsou sám soubory, pak x je prvek odboru M jestliže a jediný jestliže pro přinejmenším jeden element M, x je element . V symbolech:

To tento odbor M je soubor bez ohledu na to jak velký soubor M sám by mohl být, je obsah axióma odboru v formální teorii množin.

Tento nápad zahrne nad odstavci, v tom například, a pohár; B a pohár; C je spojení sbírky {,B,C}. Také, jestliže M je prázdná sbírka pak odbor M je prázdná množina. Analogie mezi odbory finitary a logickou disjunkcí se rozšíří do jednoho mezi odbory infinitary a existenciálním počítáním.

Zápis pro obecnou představu může měnit se značně. Tvrdí souboroví teoretici budou prostě psát

zatímco většina lidí chce raději psát

Druhý zápis může být celkový k

který se odkazuje na spojení sbírky {_i : i je v Já}. Tady Já je soubor, a _i je soubor pro každý i v Já. V případě to množina indexů Já je soubor přirozených čísel, notace je podobná to to shrnutí:

Když formátování je těžké, toto může také být psáno”₁ a pohár; ₂ a pohár; ₃ a pohár; · · ·”. (tento poslední příklad, spojení countably mnoho souborů, je velmi běžný v analýze; pro příklad vidět článek na a sigma; algebras.) konečně, nechal nás si všimnout toho kdykoli symbol “a pohár;” je umístěn dříve jiné symboly místo toho mezitím je, to je větší velikosti.

Křižovatka rozděluje přes infinitary odbor, v pocitu, že

My můžeme také kombinovat ifinitary spojení s křižovatkou infinitary dostat právo