Počítání univerzálie

V predikátové logice, počítání univerzálie je pokus formovat ponětí, že něco ( logický predikát) je pravdivý pro všechno, nebo každá významná věc. Výsledné sdělení je všeobecně počítané sdělení a my máme všeobecně počítaný přes predikát. V symbolické logice, univerzálie quantifier (typicky “a forall;”) je symbol naznačoval počítání univerzálie.

Počítání oběcně je zakryté v článku Počítání, zatímco tento článek diskutuje o univerzálním počítání specificky.

Základy

Předpokládat, že vy přejete si říkat

2 · 0 = 0 + 0, a 2 · 1 = 1 + 1, a 2 · 2 = 2 + 2, etc.

Toto by vypadalo, že je logická souvislost protože opakovaného užití “a”. Ale “etc” nemůže být interpretován jako souvislost v formální logice. Místo toho, přeformulovat sdělení jak

Pro nějaké přirozené číslo n, 2 ·n = n + n.

Toto jednotlivý příkaz používá univerzální počítání.

Poznamenejte, že toto sdělení je opravdu přesnější než ten originální. To může vypadat zřejmé, že výraz “etc” je chtěl zahrnovat všechna přirozená čísla, a nic více, ale toto wasn't výslovně řečený, který je nezbytně důvod že výraz nemohl být interpretován formálně. V univerzálním počítání, na druhé straně, přirozená čísla jsou zmíněna výslovně.

Obzvláště tento příklad je pravdivý, protože vy jste mohli dát nějaké přirozené číslo v pro n a sdělení “2 ·n = n + n” by byl pravdivý. V kontrastu, “pro nějaké přirozené číslo n, 2 ·n > 2 + n” je falešný, protože vy nahradíte n s, říkat, 1 a dostat lživé prohlášení “2 · 1 > 1 + 1”. To nevadí, že “2 ·n > 2 + n” je pravdivý pro nejvíce přirozená čísla n; vyrovnat existenci jeden counterexample je dost se ukázat jako univerzální počítání falešný.

Na druhé straně, “pro nějaké složené číslo n, 2 ·n > 2 + n” je pravdivý, protože žádný z counterexamples jsou čísla směsice. Toto naznačí důležitost doména projevu, který specifikuje které hodnoty n má dovoleno brát. Další informace o doménách používání projevu se počítanými sděleními může být nalezená v Počítacím článku. Ale zvláště, si všimnout toho jestliže vy přejete si omezit doménu projevu se sestávat jediný těch objektů, které uspokojí jistý predikát, pak pro počítání univerzálie, vy děláte toto s logický podmíněný. Například, “pro nějaké číslo směsice n, 2 ·n > 2 + n” je logicky rovnocenný k “pro nějaké přirozené číslo n, jestliže n je složený, pak 2 ·n > 2 + n”. Tady “jestliže... pak” stavba signalizuje logický podmíněný.

V symbolické logice, my používáme univerzálii quantifier “a forall;” (obrácený dopis”” v sans-patka font) ukázat počítání univerzálie. Tak jestliže P(n) je predikát “2 ·n > 2 + n” a N je soubor přirozených čísel, pak

je (falešné) sdělení

Pro nějaké přirozené číslo n, 2 ·n > 2 + n.

Podobně, jestliže Q(n) je predikát”n je složený”, pak

je (opravdové) sdělení

Pro nějaké číslo směsice n, 2 ·n > 2 + n.

Několik změn v zápisu pro počítání (který platit o všech formách) moci být nalezený v Počítacím článku. Ale tam je zvláštní zápis používal jen pro počítání univerzálie, který my také dáme tady:

Parentheses ukázat počítání univerzálie standardně.

Vlastnosti

My potřebujeme seznam algebraických vlastností počítání univerzálie, takový jako distributivity přes souvislost, a tak dále. Také pravidla závěru.