Vesmír (matematika)
V matematice, a zvláště v použitích na teorii množin a založení matematiky, vesmír je, ostře mluvit, třída to je velké dost obsahovat (v nějakém smyslu) všichni souborů že jeden může přát si používat.| Tabulka s obsahem |
| 1 ve specifickém kontextu 2 v obyčejné matematice 3 v teorii množin 4 v teorii kategorie |
Tam je několik přesných verzí této obecné myšlenky. Snad nejjednodušší je že některý zapadl moci být vesmír, tak dlouho jak vy studujete ten zvláštní soubor. Tak jestliže vy studujete reálná číslapak reálnou osu R, který je soubor všech reálných čísel, mohl být váš vesmír. Implicitně, toto je vesmír to Georg Cantor byl používání, když on nejprve se vyvíjel moderní naivní teorie množin a mohutnost v 1870s a 1880s v použitích na skutečnou analýzu. Jediné soubory že Cantor byl původně zainteresovaný v byl podmnožiny R.
Tato představa o vesmíru je zrcadlena v použití Venn diagramů. V Venn diagramu, akce tradičně koná se uvnitř velkého obdélníku, který reprezentuje vesmír U. Jeden obecně říká, že soubory jsou reprezentovány kruhy; ale tyto soubory mohou jen být podmnožiny U. doplněk souboru je pak dán tou částí obdélníku venku ' s kroužit. Přísně mluvit, toto je doplněk příbuzného U \ \ absolutní k U; ale v kontextu kde U je vesmír, my můžeme pozorovat toto jak toto jako absolutní doplněk C . Podobně, my máme představu křižovatky nullary, to je křižovatka nulových souborů. Bez vesmíru, nullary křižovatka byla by soubor absolutně všechno, který je obecně pokládaný jak nemožný; ale s vesmírem v mysli, my můžeme zacházet s křižovatkou nullary jako soubor všeho v úvaze, který je jednoduše U.
Tyto konvence jsou docela užitečné v algebraickém přístupu k základní teorii množin, založený na booleovských mřížích. Kromě v některých nestandardních formách axiomatické teorie množin (takové jak nové základy, třída všech souborů je ne booleovská mříž (to je jen relativně doplňovaná mříž). V kontrastu, třída všech podmnožin U, volal elektrický soubor U, je booleovská mříž. Absolutní doplněk popsal nahoře je doplněk operace v booleovské mříži; a U, jako křižovatka nullary, slouží jako element vrcholu (nebo nullary se setkají) v booleovské mříži. Pak De morganská práva, která dohoda s doplňky setká se a spojí se (který jsou unionss v teorii množin) platit, a platit dokonce k nullary se setkají a nullary se spojí (který je prázdná množina).
Nicméně, jakmile vy zvažujete podmnožiny daného souboru X (v Cantorově případě, X = R), vy můžete stát se zaujatí soubory podmnožin X. (například, topologie na X je soubor podmnožin X.) různé soubory podmnožin X chtít ne sám jsou podmnožiny X ale chtít místo toho být podmnožiny PX, elektrický soubor X. Samozřejmě, to nezastaví se tam; vy byste mohli příště zajímat se o soubory souborů podmnožin X, a tak dále. V dalším směru, vy můžete stát se zaujatí Kartézským součinem X × X, nebo v funkcích od X k sobě. Pak vy byste mohli chtít funkce na kartézském součinu, nebo od X k X × PX, a tak dále.
Tak dokonce jestliže váš primární zájem je X, vy můžete dobře chtít, aby váš vesmír byl docela kousek větší než X. Následovat nad nápady, vy můžete chtít nadstavbu přes X. Toto může být definováno strukturální rekurzí takto:
- Nechaný S0 být X sám.
- Nechaný S1 být odbor X a PX.
- Nechaný S2 být odbor S1 a PS1.
- Obecně, nechaný Sn+ 1 být odbor Sn a PSn.
Si všimnout toho bez ohledu na to co zapadlo X vy začínáte, prázdná množina {} bude patřit k S1. Si vzpomínat, že prázdná množina je von Neumanna pořadový [0]. Pak {[ 0 ]}, soubor jehož jediný element je prázdná množina, bude patřit k S2; toto je von Neumann pořadový [1]. Podobně, {[ 1 ]} bude patřit k S3, a tak tak chtít {[ 0], [1 ]}, jako odbor {[ 0 ]} a {[ 1 ]}; toto je von Neumann pořadový [2]. Pokračovat v tomto procesu, každé přirozené číslo je reprezentováno v nadstavbě jeho von Neumann pořadový. Příští, jestliže x a y patřit k nadstavbě, pak tak dělá, který reprezentuje spořádaný pár (x,y). Tak nadstavba bude obsahovat různé požadované kartézské součiny. Pak nadstavba také obsahuje funkce a relationssod té doby, co tito mohou být reprezentováni jako podmnožiny kartézských součinů. My také jsme objednáváni n- n-tice, reprezentovaný jako funkce jehož doména je von Neumann pořadový [n]. A tak dále.
Tak jestliže vy začínáte právě X = {}, pak vy můžete stavět velké množství souborů potřebovaných pro matematiku jako prvky nadstavby přes {}. Ale všichni elementů S{} bude být konečné množiny! Všichni přirozených čísel patřit k tomu, ale soubor N všichni laně přirozených čísel ne (ačkoli to je podmnožina S{}). Ve skutečnosti, nadstavba přes X sestává ze všech hereditarily konečných množin. Jako takový, to může být zvažováno vesmír finitist matematiky. Mluvení anachronistically, my jsme mohli navrhnout, že 19th-století finitist Leopold Kronecker pracoval v tomto vesmíru; on věřil, že každé přirozené číslo existovalo ale to soubor N (#rquotevyplněný infinity”) dělal ne.
Nicméně, S{} je neuspokojivý pro obyčejné matematiky (kdo finitists), protože dokonce ačkoli N smět být dostupný jako podmnožina S{}, ještě síla zapadla N je ne. Zvláště, libovolné soubory reálných čísel nejsou dostupné. Tak my můžeme muset začít proces všichni znovu a forma SS{}. Nicméně, k věcem živobytí jednoduchý, nechal nás jen vzít soubor N přirozených čísel jak daný a forma SN, nadstavba přes N. Toto je často považováno za vesmír obyčejné matematiky. Nápad je to celé matematiky to je běžně studováno se odkazuje na prvky tohoto vesmíru. Například, některý obvyklý konstrukce reálných čísel (říkat Dedekind řezy) bude patřit k SN. Dokonce analýza nonstandard může být dělána v nadstavbě přes model nonstandard přirozených čísel.
Jeden by měl si všimnout nepatrného posunu ve filozofii od předchozí sekce, kde vesmír byl nějaký soubor U zájmu. Tam, bytí souborů studovalo byl podmnožinas vesmíru; nyní, oni jsou členové vesmíru. Tak ačkoli PS je booleovská mříž, co je významné je to S sám není. Následně, to je vzácné aplikovat ponětí o booleovských mřížích a Venn diagramech přímo k vesmíru nadstavby, zatímco oni byli k síle-dal vesmíry předchozí sekce. Místo toho, jeden může pracovat s individuálními booleovskýma mřížemi P, kde nějaký významný soubor patří k S; pak P je podmnožina S (a ve skutečnosti patří k S).
My můžeme dávat přesný smysl k tvrzení, že SN je vesmír obyčejné matematiky; to je model Zermelo teorie množin, axiomatická teorie množin původně se vyvíjela Ernst Zermelo v 1908. Zermelo teorie množin byla úspěšná přesně, protože to bylo schopné axiomatising “obyčejná” matematika, splnění plánu začatý Cantor přes 30 roků dříve. Ale Zermelo teorie množin ukázala se nedostatečná pro další vývoj axiomatické teorie množin a jiné práce v založeních matematiky, obzvláště modelovat teorii. Pro dramatický příklad, popis procesu nadstavby nahoře nemůže sám být uskutečněn v Zermelo teorii množin! Konečný krok, se tvořit S jako odbor infinitary, vyžaduje axióm nahrazení, který byl přidán k Zermelo teorii množin v 1922 k formě Zermelo-Fraenkel teorie množin, soubor axiómů nejvíce široce přijal to dnes. Tak zatímco obyčejná matematika může být dělána v SN, diskuze SN jde dál “obyčejný”.
- Transfinite iterace nadstavby se vzdá Goedel je vesmír constructible L
- Vesmíry Vona Neumanna Va alpha; a axióm constructibility
- Nepřístupní kardinálové dají modely ZF a někdy další axiómy
V teorii kategorie
- Soubor- jako když toposes
- Grothendieck vesmíry
- Vztah k nepřístupným kardinálům