Vektor (spatial)
Pojetí vektoru je základní v fyzice a inženýrství. Ačkoli slovo teď má mnoho významů (vidět také vektor, a zevšeobecňování dole), jeho originální a nejobvyklejší význam v těch polích je kvantita, která má blízký vztah k prostorovému nasměrování. Použití vektoru v tomto článku se odkazuje na ten originální význam, kromě kde jinak známý.
Často informally popsal jako objekt s “velikostí” (velikost) a “směr”, vektor je více formálně definovaný jeho vztahem k spatial souřadnicová soustava pod rotacemi. Jinak, to může být definováno v ose- volná móda přes prostor tangenty trojrozměrný různý v jazyce geometrie diferencovanosti. Tyto definice jsou diskutovány ve více detailu dole.
Takový vektor je zvláštní případ tensor a je také podobný k čtyři-vektor v relativnosti (a je někdy proto nazvaný tři-vektor v odkazu na tři prostorové rozměry, ačkoli tento termín také má další smysl pro p-vektory geometrie diferencovanosti). Vektory jsou stavební kameny vektorových polí a vektorový počet.
| Tabulka s obsahem |
| 1 definice 2 reprezentace vektoru 3 rovnost vektoru 4 sčítání vektoru a odčítání 5 skalárního součinu 6 produktu kříže 7 skalárního trojitého produktu 8 externích spojení |
Pojem mít “velikost” a “směr” je formován tím, že říká, že vektor má komponenty, které zobrazí jako osy pod rotacemi. To je, jestliže souřadnicová soustava podstoupí rotaci popsanou maticí rotace R, tak to vektor osy x je transformován k x' = Rx, pak nějaký jiný vektor v je podobně přeměněn přes v' = Rv. Více obecně, vektor je tensor contravariant zařadit jednoho. V geometrii diferencovanosti, termín vektor obvykle se odkazuje na kvantity, které jsou blízko příbuzné prostorům tangenty differentiable různý (přijal být trojrozměrný a vybavený s pozitivní konečný Riemannian metrický). ( čtyři-vektor je příbuzné pojetí když zabývá se 4 rozměrný spacetime různý v relativnosti.)
Příklady vektorů zahrnují vysídlení, rychlost, elektrické pole, hybnost, síla, a zrychlení.
Vektory mohou být porovnány s skalárními kvantitama takový jako vzdálenost, rychlost, energie, čas, teplota, účtovat si, síla, pracovat, a se hromadit, který mají velikostale žádný směr (oni jsou neměnní pod rotacemi osy). Velikost nějakého vektoru je skalární.
Příbuzné pojetí je to pseudovector (nebo axiální vektor). Toto je kvantita, která zobrazí jako vektor pod pořádnými rotacemi ale zisky další znamení házet pod nevlastními rotacemi. Příklady pseudovectors zahrnují magnetické pole, točivý momenta moment hybnosti. (tento rozdíl mezi vektory a pseudovectors je často ignorován, ale to stane se důležité ve zkoumání symetrických vlastností.) rozlišit od pseudo/axiální vektory, obyčejný vektor je někdy nazýván polárním vektorem.
Někdy, jeden mluví informally spojený nebo fixované vektory, který jsou vektory dodatečně charakteristické “vztažným bodem”. Nejvíce často, tento termín je užitý na vektory pozice (vztažené k bodu původu). Více obecně, nicméně, fyzický výklad zvláštního vektoru může být parameterized nějakým množstvím kvantit.
Zevšeobecňování
V matematice, vektor přes pole k je některý prvek vektorového prostoru. Prostorové vektory tohoto článku jsou velmi zvláštní případ této obecné definice (oni jsou ne jednoduše nějaký element Rd v d rozměry), který zahrnuje paletu matematických objektů (algebras, soubor všech funkcí od daný doména k daný lineární rozsah, a lineární transformace). Si všimnout toho pod touto definicí, tensor je vektor speciality!
Symboly kandidovat na vektory být obvykle tiskl v tučném písmu jak ; toto je také konvence přijatá v této encyklopedii. Jiné konvence obsahuje nebo , obzvláště v písmu. délka nebo velikost nebo norma vektoru je označován ||.
Vektory jsou obvykle ukazovány v grafech nebo jiných diagramech jako šipky, jak ilustrovaný dole:
V čísle nahoře, šíp může také být psán jak nebo AB
Aby počítal s vektory, grafická reprezentace je příliš těžkopádná. Vektory v n- rozměrné Euclidean prostory mohou být reprezentovány jako lineární kombinace n vzájemně prependicular jednotkové vektory. V tomto článku, my zvážíme to R3 jako příklad. V R3, my obvykle označujeme protějšek jednotkových vektorů k x-, y- a z- osy i, j a k příslušně. Nějaký vektor v R3 moci být psán jak = 1i + 2j + 3k s reálnými čísly 1, 2 a 3 který být jedinečně předurčený . Někdy je pak také psaný jak 3-- 1 nebo 1-- 3 matice:
délka vektoru = 1i + 2j + 3k moci být počítán jak
Dva vektory jsou řekl, aby byl se rovnat jestliže oni mají stejnou velikost a směr. Nicméně jestliže my mluvíme o spojeném vektoru, pak dva spojené vektory jsou se rovnat jestliže oni mají stejný vztažný bod a konec poukážou.
Například, vektor i + 2j + 3k se základním bodem (1, 0, 0) a vektor i+ 2j+ 3k se základním bodem (0, 1, 0) jsou různé spojené vektory, ale stejný (nespoutaný) vektor.
Nechaný =1i + 2j + 3k a b=b1i + b2j + b3k.
Součet a b je:
Tato metoda sčítání je někdy nazývána pravidlem rovnoběžníku protože a b tvořit strany rovnoběžníku a + b je jeden z úhlopříček. Jestliže a b jsou spojené vektory pak sčítání je jen definovaný jestliže a b mít stejný základní bod, který chtít pak také být základní bod + b. Jeden může zkontrolovat to geometricky to + b = b + a ( + b) + c = + (b + c).
Rozdíl a b je:
Jestliže a b jsou spojené vektory pak odčítání je jen definovaný jestliže oni sdílejí stejný základ zaměřit kterou vůli pak také stát se základním bodem jejich rozdílu. Toto operace zaslouží si jméno “odčítání” protože ( - b) + b = .
Vektor může také být násoben reálným číslem r. Čísla jsou často nazvaná scalars odlišit je od vektorů a této operace je proto nazýván skalárním násobením. Výsledný vektor je:
Tady to je důležité zkontrolovat, že skalární násobení je slučitelné s vektorovým sčítáním v následujícím smyslu: r( + b) = ra + rb pro všechny vektory a b a celý scalars r. Jeden může také ukazovat to - b = + (- 1)b.
Soubor všech geometrických vektorů, spolu s operacemi vektorového sčítání a skalárním násobením, uspokojí všechny axiómy vektorového prostoru. Podobně, soubor všech spojených vektorů s bodem společné báze tvoří vektorový prostor. Toto je kde termín “vektorový prostor” vznikal.
skalární součin dvou vektorů a b (také volal skalární součin, nebo, protože jeho výsledek je skalární, skalární součin) je označován ·b nebo někdy (, b) a je definován jak:
produkt kříže (také produkt vektoru nebo vnější produkt) se liší od skalárního součinu primárně v tom výsledek křížového produktu dvou vektorů je vektor. Zatímco všechno to bylo říkáno nahoře moci být celkový v přímém způsobu k víc než tři rozměry, produkt kříže je jen významný ve třech rozměrech (ačkoli příbuzný produkt existuje v sedmi rozměrech - vidět dolů). Produkt kříže, označil ×b, je vektor kolmý k oběma a b a je definován jak:
V takový systém, ×b je definován tak to , b a ×b také stane se pravým podaným systémem. Jestliže i, j, k je levoruký, pak , b a ×b je definován být levoruký. Protože produkt kříže závisí na volbě souřadnicových soustav, jeho výsledek je odkazoval se na jako pseudovector. Naštěstí, v přírodě produkty kříže inklinují vejít do párů, tak to “handedness” osy systém je odvolán druhým křížovým produktem.
Délka ×b moci být interpretován jako oblast rovnoběžníku mít a b jako strany.
V osách, jestliže tři vektory jsou myšlenka jako řádky, skalární trojitý produkt je prostě determinant 3-- 3 matice mít tři vektory jako řádky. Skalární trojitý produkt je lineární ve všech třech záznamech a anti-symmetric v následujícím smyslu:
- Online vektorové identity (pdf)
- Vektory u Wikibooks