Vektorový prostor

Fundamentální představa v lineární algebře je to vektorového prostoru nebo lineární prostor. To je zevšeobecňování souboru všichni geometrický vektory a je používán během moderní matematika.

Tabulka s obsahem

1 historie 2 formální definice 2.1 terminologie 3 příklady 4 Subspaces a základy 5 lineárních map

Historie

Viďte Lineární algebru.

Formální definice

Prostě daný, vektorový prostor přes pole F je právě F -modul.

Expandovat, to znamená pokračování:

Soubor V je vektorový prostor přes pole F (takový jako pole skutečný nebo komplexních čísel, například), jestliže daný operace sčítání vektoru vymezilo v V, označil v+w pro všechny v, w v V, a operace skalární násobení v V, označil a*v pro všechny v v V a a v F, následovat 10 držení vlastností pro všechny a, b v F a u, v, a w v V:

1. v+w patří k V.
   V je zavřen pod sčítáním vektoru.
2. u+ (v+w) = (u+v) +w.
   Associativity sčítání vektoru v V.
3. Tam existuje neutrální element 0 v V, takový to pro všechny elementy v v V, v+0= v.
   Existence adičního identitního elementu v V.
4. Pro všechny v v V, tam existuje element -v v V, takový to v+ (-v) = 0.
   Existence inverses přísady v V.
5. v+w=w+v.
   Commutativity sčítání vektoru v V.
6. a*v patří k V.
   V je zavřel dolů skalární násobení.
7. a*(b*v) = (ab) *v.
   Associativity skalárního násobení v V.
8. Jestliže 1 naznačuje multiplikativní totožnost pole F, pak 1 *v=v.
   Neutralita jeden.
9. a* (v+w) =a*v+a*w.
   Distributivity s ohledem na sčítání vektoru.
10. (+ b) *v= *v+ b *v.
    Distributivity s ohledem na sčítání pole.

Vlastnosti 1 přes 5 ukázat to V je abelian skupina dolů sčítání vektoru. Vlastnosti 6 přes 10 platit o skalárním rozmnožování vektoru v v V skalární a v F. (si všimnout toho vlastnictví 5 vlastně vyplývá z jiných 9.)

Od nad vlastnostmi, jeden může okamžitě se ukázat jako následující šikovné rovnice:

a*0 = 0 *v = 0

-(a*v) = (-a) *v = a* (-v)

pro všechny a v F a v v V.

Členy vektorového prostoru jsou nazývány vektory. Představa o vektorovém prostoru je úplně abstraktní jako pojetí skupiny, prstena pole. To určuje jestliže soubor V je vektorový prostor jeden musí specifikovat soubor V, pole F a definovat vektorové sčítání a skalární násobení v V. pak jestliže V uspokojí nad 10 vlastnostmi to je vektorový prostor přes pole F.

Terminologie

• Vektorový prostor přes R, soubor reálných čísel, je nazýván skutečným vektorovým prostorem.
• Vektorový prostor přes C, soubor komplexních čísel, je nazýván komplexním vektorovým prostorem.
• Vektorový prostor s definovaným vzdálenostním pojetím, tj. norma, je volán normed vektorový prostor.

Příklady

• Příklad 1: Vektorový prostor Rⁿ, přes R, s komponentou-moudré operace
  • Více obecně, Fⁿ, přes F, s komponentou-moudré operace
• Příklad 2: Soubor (mxn) matrices s komplexními elementy přes C
  • Více obecně, soubor (mxn) matrices přes libovolné pole F
• Příklad 3: Soubor všech spojitý skutečný-cenil funkce na uzavřené pauze
• Daný vektorový prostor V přes F, a nějaký soubor X, pak soubor všech funguje X - > V tvoří vektorový prostor přes F
• F [x]: Soubor všech ploynomials s coefficents ven F, přes F.
• konečné pole GF (pⁿ), přes GF (p)
• C, přes R
• R, přes Q ( racionální čísla)

Subspaces a základy

Daný vektorový prostor V, nějaká nonempty podmnožina W V který je uzavřený pod sčítáním a skalární násobení je voláno subspace V. to jde snadno vidět ten subspaces V jsou vektorové prostory (přes stejné pole) v jejich vlastní pravý. Křižovatka celého subspaces obsahovat daný soubor vektorů je nazýván jejich rozpětím; jestliže žádný vektor může být odstraněn bez menšit rozpětí, soubor je volán linearly nezávislá osoba. Linearly nezávislý soubor jehož rozpětí je celý prostor je volán základ.

Všechna východiska pro daný vektorový prostor mají stejnou mohutnost. Používání Zorn je Lemma, to může být dokázané ten každý vektorový prostor má základ a vektorové prostory přes dané pole jsou sestaveny k izomorfismu jeden kardinální číslo (nazvaný rozměr vektorového prostoru) reprezentovat velikost základu. Například skutečné vektorové prostory jsou právě R⁰, R¹, R², R³,..., R^{a infin;},... Jak vy byste čekali, dimenze skutečného vektorového prostoru R³ je tři.

Základ umožňuje vyjádřit každý vektor prostoru jako jedinečná kombinace elementů pole. Vektorové prostory jsou obvykle představeny z tohoto coordinatised hlediska.

Daný translationally neměnný a rescaling neměnný topologie přes vektorový prostor (nejlépe nekonečný-rozměrný), suma nekonečné sekvence vektory mohou být definovány jako limit topological, jestliže to existuje. Viďte topological vektorový prostor.

Lineární mapy

Daný dva vektorové prostory V a W přes stejné pole, jeden může definovat lineární transformace nebo “lineární mapy” od V k W. tito jsou mapy od V k W který být slučitelný s významnou strukturou, tj. oni chrání součty a skalární součiny. Soubor všech lineárních map od V k W je označován L (V, W) a tvoří vektorový prostor přes stejné pole. Když východiska pro oba V a W být dané, lineární mapy mohou být vyjádřeny v podmínkách komponent jako matrices.

izomorfismus je lineární mapa, která je osobní a na. Jestliže tam existuje izomorfismus mezi V a W, my voláme dva prostory isomorphic; oni jsou pak nezbytně totožní.

Vektorové prostory přes fixované pole F, spolu s lineárními mapami, tvořit kategorii.