Zermelo-Fraenkel teorie množin
Zermelo-Fraenkel axiómy dal teorii (ZF), být standard axiómy axiomatické teorie množin na kterém, spolu s axiomem výběru, všichni obyčejný matematika je umístěná. Když axiom výběru je zahrnutý, výsledný systém je ZFC.Axiómy jsou výsledek práce Thoralf Skolem v 1922, založený na časnější práci Adolf Fraenkel ve stejném roku, který byl založený na axióme systém navrhl Ernst Zermelo v 1908 (Zermelo teorie množin).
Systém axióma je zapsán nejprve-objednávat logiku. Systém axióma má nekonečné množství axiómů, protože schéma axióma je používáno. Ekvivalent konečný alternativní systém je dán von Neumann-Bernays-Gödel axiómy (NBG), který rozlišovat mezi classeses a soubory.
Axiómy ZFC jsou:
- Axióm extensionality: Dva soubory jsou stejné jestliže a jediný jestliže oni mají stejné elementy.
- Axióm prázdné množiny: Tam je soubor s žádnými elementy. My odkážeme použití {} označovat tuto prázdnou množinu.
- Axióm pára: Jestliže x, y jsou soubory, pak tak je {x,y}, soubor obsahovat x a y jako jeho jediné elementy.
- Axióm odboru: Pro nějaký soubor x, tam je soubor y takový to elementy y být přesně prvky elementů x.
- Axióm infinity: Tam existuje soubor x takový to {} je v x a kdykoli y je v x, tak je odbor y a pohár; {y}.
- Axióm nahrazení: Daný nějaký soubor a nějaké mapování, formálně definovaný jako problém P (x,y) kde P (x,y1) a P (x,y2) implikuje y1 = y2, tam soubor obsahuje přesně představy o originálních souborových elementech. (toto je schéma axióma.)
- Axióm elektrického souboru: Každý soubor má elektrický soubor. To je, pro nějaký soubor x tam existuje soubor y, takový to elementy y být přesně podmnožiny x.
- Axióm pravidelnosti: Každé non-prázdná množina x obsahuje nějaký element y takový to x a y disjoint soubory.
- Axiom výběru: Nějaký produkt nonempty souborů je nonempty.