Zornovy lemma

Zornovy lemma, také známý jak Kuratowski-Zorn lemma, je teorém teorie množin to řekne to:

Každý částečně spořádaný soubor ve kterém každý řetěz (tj. totálně spořádaný podmnožina) má horní spojený obsahuje přinejmenším jeden maximal element.

To je pojmenované po matematiku Max Zorn.

Termíny jsou definovány takto. Předpokládat (P, a le;) je částečně spořádaný soubor. Podmnožina T je totálně spořádaný jestliže pro některého s, t v T my máme jeden s a le; t nebo t a le; s. Takový soubor T má horní spojený u v P jestliže t a le; u pro všechny t v T. Si všimnout toho u je element P ale potřeba ne být element T. maximal element P je element m v P takový to jediný element x v P s m a le; x je x = m sám.

Jako dobře-objednávat princip, Zorn je Lemma je ekvivalentní k axiomu výběru, v pocitu, že jeden jeden spolu s Zermelo-Fraenkel axiómy teorie množin je dostatečný ukázat se jako jiný. To je pravděpodobně nejužitečnější všech ekvivalentů k axiomu výběru a se vyskytuje v korekturách několika teorémů hlavní důležitosti, například Hahn-Banach teorém v funkční analýze, teorém že každý vektorový prostor má základ, Tychonoff teorém v topologii říkat ten každý produkt kompaktních prostorů je kompaktní, a teorémy v abstraktní algebře že každý prsten má maximal ideál a že každé pole má algebraické uzavření.

Aplikace příkladu

My projdeme typické použití Zornova lemma, důkaz ten každý prsten R obsahuje maximal ideál. Soubor P tady sestává ze všech (oboustranný) ideály v R, kromě R sám. Tento soubor je částečně spořádaný zahrnutím souboru. My jsme děláni jestliže my můžeme objevit maximal element v P. Ideál R byl vyřazen protože maximal ideály samozřejmě nejsou se rovnat k R.

My chceme aplikovat Zornovy lemma a tak my vezmeme totálně spořádanou podmnožinu T P a muset ukázat, že T má horní spojený, tj. to tam existuje ideál Já v R který je větší než všichni členové T ale ještě menší než R (jinak to nebylo by v P). My bereme Já být odbor všech ideálů v T. Já je ideál: jestliže a b jsou elementy Já, pak tam existovat dva ideály J a K v T takový to a isin; J a b a isin; K. Protože T je totálně spořádaný, my známe to J je podmnožina K nebo versa zlozvyku. V prvním případě, oba a b jsou členy ideálu K, proto jejich součet + b je člen K, který ukazuje to + b je člen Já. Ve druhém případě, oba a b jsou členy ideálu J, a my zakončíme podobně to + b je obsahován v Já. Dále, jestliže r je element R, pak ar a ra jsou elementy J a od této doby elementy Já. My jsme ukázali, že Já je ideál v R.

Teď přijde srdce důkazu: proč je Já menší než R? Velmi důležité pozorování je že ideál je se rovnat k R jestliže a jediný jestliže to obsahuje 1. (to je jasné, že jestliže to je se rovnat k R, pak to musí obsahovat 1; na druhé straně, jestliže to obsahuje 1 a r je libovolný element R, pak r1 = r je prvek ideálu, a tak ideál je se rovnat k R.) tak, jestliže Já jsem byl se rovnat k R, pak to by obsahovalo 1, a to znamená jeden z členů T by obsahoval 1 a by tak byl se rovnat k R - ale my výslovně vyloučený R od P.

Stav Zornova lemma byl kostkovaný a my tak dostaneme maximal element v P, jinými slovy maximal ideál v R.

Poznamenat, že důkaz závisí na skutečnosti, že náš prsten R má multiplikativní jednotka 1. Bez tohoto, důkaz by nepracoval a opravdu sdělení by bylo nepravdivé.

Nástin důkazu Zornova lemma

Nástin důkazu Zornova lemma následuje. Předpokládají lemma je falešný. Pak tam existuje částečně objednával soubor nebo poset, P takový že každá totálně spořádaná podmnožina má horní spojený, a každý element má nějaký větší. Pro každou totálně spořádanou podmnožinu T my můžeme pak definovat větší element b(T), protože T má horní spojený, a to horní spojený má větší element. To vlastně definovat funkci b, my potřebujeme zaměstnat axiom výběru.

Používat funkci b, my budeme definovat elementy _{0 1 2 3} P. Tato sekvence je opravdu dlouho: indexy nejsou jen přirozená čísla, ale všichni ordinals. Ve skutečnosti, sekvence je příliš dlouhá pro soubor P; tam je příliš mnoho ordinals, více než tam jsou elementy v nějakém souboru a souboru P bude být vyčerpán dříve dlouho a pak my budeme běžet do požadovaného rozporu.

' s být definován přerušením transfinite: my vybereme si ₀ v P libovolný (toto je možné, protože P obsahuje horní směřující k prázdné množině a je tak ne se vyprázdnit) a pro některého jiný pořadový w my jsme zapadli _w = b({_v: v w}). Protože _v být totálně spořádaný, toto pracuje právě jemný.

Tento důkaz ukáže, že vlastně lehce silnější verze Zornova lemma je pravdivá:

Jestliže P je poset ve kterém každý dobře-objednal podmnožina má horní spojený, a jestliže x je nějaký element P, pak P má maximal element, který je větší než nebo se rovnat k x. To je, tam je maximal element, který je srovnatelný k x.

Zornův lemma byl nejprve objeven K. Kuratowski v 1922, a nezávisle Max Zorn v 1935.

Odkazy

• Nachystal teorii na pracovního matematika. Ciesielski, Krzysztof. Cambridge univerzita Press, 1997. ISBN 0521594650